$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{441}&{442}&{443}\\{445}&{446}&{447}\\{449}&{450}&{451}\end{array}\,} \right|$ का मान है

यदि $x, y, z$ विभिन्न हों और $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|=0,$ तो दर्शाइए कि $1+x y z=0$

माना $M , 3 \times 3$ का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जिसकी वास्तविक प्रविष्टियाँ है तथा माना $I , 3 \times 3$ के तत्समक आव्यूह को दर्शाता है। यदि $M ^{-1}=\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M )$ हो, तो निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सदैव सत्य होगा/होगें ?

$(A)$ $M=I$   $(B)$ $\operatorname{det} M =1$   $(C)$ $M ^2= I$  $(D)$ $(\operatorname{adj} M)^2=I$

यदि समीकरण निकाय $ax + y + z = 0$, $x + by + z = 0$ और $x + y + cz = 0$, जहाँ $a,b,c \ne 1$ का एक अशून्य हल है, तो $\frac{1}{{1 - a}} + \frac{1}{{1 - b}} + \frac{1}{{1 - c}}$ का मान है

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }\\{{{\cos }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }\\{4\sin 4\theta }&{4\sin 4\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$ तो $\sin \,4\theta $ का मान है

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$