$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + x}&1&1\\1&{1 + y}&1\\1&1&{1 + z}\end{array}\,} \right| = $

सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q\end{array}\right|=1$

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए।

$\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a - b - c}&{2a}&{2a}\\{2b}&{b - c - a}&{2b}\\{2c}&{2c}&{c - a - b}\end{array}\,} \right| = $

समीकरण

$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x\end{array}\right|=0,(0 < x < \pi)$ के हल है 

सिद्ध कीजिए कि सारणिक

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
a+b x & c+d x & p+q x \\
a x+b & c x+d & p x+q \\
u & v & w
\end{array}\right|=\left(1-x^{2}\right)\left|\begin{array}{lll}
a & c & p \\
b & d & q \\
u & v & m
\end{array}\right|$