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$m$ पुरूष तथा $n$ महिलाओं को एक सरल रेखा में इस प्रकार बैठाना है, कि दो महिलाएँ एक साथ न बैठें। यदि $m > n$ हो, तब दर्शाइये कि इन्हें बैठाने के कुल प्रकार हैं
$\frac{{m\;!\;(m + 1)\;!}}{{(m - n + 1)\;!}}$
$\frac{{m\;!\;(m - 1)\;!}}{{(m - n + 1)\;!}}$
$\frac{{(m - 1)\;!\;(m + 1)\;!}}{{(m - n + 1)\;!}}$
इनमें से कोई नहीं
Solution
प्रथमत: $m$ पुरुषों को एक सरल रेखा में, $m$ ! प्रकार से व्यवस्थित करते हैं। चूँकि $n < m$ तथा दो महिलाएँ एक साथ नहीं बैठ सकती हैं। $m\,!$ विन्यासों में से किसी एक में, $(m + 1)$ स्थानों पर $n$ महिलाओं को $^{m + 1}{P_n}$ प्रकार से विन्यासित किया जा सकता है।
अत: आधारभूत प्रमेय से, $m$ पुरुष तथा $n$ महिलाएँ विन्यासित किये जा सकते हैं $(n < m)$
= $m\,!{.^{m + 1}}{P_n} = \frac{{m\,!.(m + 1)!}}{{\{ (m + 1) – n\} \,!}}\, = \frac{{m!(m + 1)!}}{{(m – n + 1)\,!}}$.
