दो न्याय पासे फेंके जाते है। उनमें प्राप्त अंको को $\lambda$ तथा $\mu$ लेकर रैखिक समीकरण निकाय $x+y+z=5$ , $x+2 y+3 z=\mu$ , $x+3 y+\lambda z=1$ बनाया जाता है। यदि इस निकाय का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $p$ है तथा इस निकाय का कोई भी हल न होने की प्रायिकता $q$ है, तो -

यदि $x , y , z$ समान्तर श्रेढ़ी में हैं जिसका सार्वअन्तर $d ,( x \neq 3 d )$ है और आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}3 & 4 \sqrt{2} & x \\ 4 & 5 \sqrt{2} & y \\ 5 & k & z \end{array}\right]$ का सारणिक शून्य है, तो $k ^{2}$ का मान है

सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{4 + {x^2}}&{ - 6}&{ - 2}\\{ - 6}&{9 + {x^2}}&3\\{ - 2}&3&{1 + {x^2}}\end{array}\,} \right|$ निम्न के द्वारा विभाज्य नहीं है

$\lambda$ के उन भिन्न मानों का योग, जिनके लिए समीकरण निकाय

$(\lambda-1) x +(3 \lambda+1) y +2 \lambda z =0$

$(\lambda-1) x +(4 \lambda-2) y +(\lambda+3) z =0$

$2 x +(3 \lambda+1) y +3(\lambda-1) z =0$ के शून्येतर (non-zero) हल हैं, है

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right| = $

$\lambda$ के सभी मानों का समुच्चय, जिसके लिये समीकरण निकाय, $x -2 y -2 z =\lambda x$, $x +2 y + z =\lambda y$ $- x - y =\lambda z$ के अनिरर्थक हल हो, होगा