પૃથ્વીની ફરતે ફરતા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઉર્જા નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

દરેકનું એક સોલર ( સૂર્ય જેટલું $\left(=2 \times 10^{30}\; kg \right)$ ) દળ ધરાવતા બે તારા એકબીજા તરફ સન્મુખ $(Head \,on)$ સંઘાત માટે જઈ રહ્યા છે. જ્યારે તેઓ $10^{9}\; km$ અંતરે હોય છે ત્યારે તેમની ઝડપ અવગણ્ય છે. તેઓ કેટલી ઝડપથી એકબીજાને અથડાશે ? દરેક તારાની ત્રિજ્યા $10^{4}\; km$ છે. સંઘાત થયા વિના વિના તારાઓ વિકૃત થતા નથી એમ ધારો. (નું જ્ઞાત મૂલ્ય લો.)

$m$ દળ ધરાવતા એક કણને $v=\mathrm{kV}_{\mathrm{e}}(\mathrm{k}\,<\,1)$ જેટલા વેગથી પૃથ્વીની સપાટી પરથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે.

$(\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=$ નિષ્ક્રમણ વેગ$)$

પૃથ્વીની સપાટી ઉપરથી કણની મહત્તમ ઉંચાઈ $…..$ હશે.

રોકેટને એવી રીતે લોન્ચ કરવામાં આવે છે કે જેથી તે સપાટી પર પાછું ના ફરે.જો $E$ એ રોકેટ લોંચરને આપવામાં આવતી ન્યુનત્તમ ઉર્જા હોય તો જો રોકેટને ચંદ્રની સપાટી પરથી લોન્ચ કરવામાં આવે તો તેને ન્યુનત્તમ કેટલી ઉર્જા આપવી પડે?

ચંદ્ર અને પૃથ્વીની ઘનતા સમાન અને ચંદ્રનું કદ પૃથ્વી કરતાં $64$ માં ભાગનું છે.

જો પૃથ્વી નું દળ $M $, ત્રિજ્યા $R$ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ હોય તો $1\, kg$ દળ ના પદાર્થ ને અનંત અંતરે લઇ જવા કેટલું કાર્ય કરવું પડે?