$200 \;m$ ઊંચાઈના એક ખડકની ટોચ પરથી બે પથ્થરને એક સાથે $15\; m s ^{-1}$ અને $30\; m s ^{-1}$ની પ્રારંભિક ઝડપથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. આકૃતિમાં દર્શાવેલ આલેખ પ્રથમ પથ્થરની સાપેક્ષે બીજા પથ્થરનું સ્થાનમાં સમય સાથે થતા ફેરફારો દર્શાવે છે, તેની ચકાસણી કરો. હવાનો અવરોધ અવગણો અને સ્વીકારો કે જમીનને અથડાયા બાદ પથ્થર ઉપર તરફ ઊછળતા નથી. $g=10\; m s ^{-2}$ લો. આલેખમાં રેખીય અને વક્ર ભાગ માટેનાં સમીકરણો લખો.

For first stone:

Initial velocity, $u_{1}=15 m / s$

Acceleration, $a=- g =-10 m / s ^{2}$

Using the relation, $x_{1}=x_{0}+u_{1} t+\frac{1}{2} a t^{2}$

Where, height of the cliff, $x_{0}=200 m$ $x_{1}=200+15 t-5 t^{2} ... (i)$

When this stone hits the ground, $x_{1}=0$

$\therefore-5 t^{2}+15 t+200=0$

$t^{2}-3 t-40=0$

$t^{2}-8 t+5 t-40=0$

$t(t-8)+5(t-8)=0$

$t=8$ s or $t=-5 s$

since the stone was projected at time $t=0,$ the negative sign before time is meaningless.

$\therefore t=8 s$

For second stone:

Initial velocity, $u_{ II }=30 m / s$

Acceleration, $a=- g =-10 m / s ^{2}$

Using the relation,

$x_{2}=x_{0}+u_{11} t+\frac{1}{2} a t^{2}$

$=200+30 t-5 t^{2}.. .( ii )$

At the moment when this stone hits the ground; $x_{2}=0$

$5 t^{2}+30 t+200=0$

$t^{2}-6 t-40=0$

$t^{2}-10 t+4 t+40=0$

$t(t-10)+4(t-10)=0$

$t(t-10)(t+4)=0$

$t=10 s$ or $t=-4 s$

Here again, the negative sign is meaningless.

$\therefore t=10 s$

Subtracting equations (i) and (ii), we get $x_{2}-x_{1}=\left(200+30 t-5 t^{2}\right)-\left(200+15 t-5 t^{2}\right)$

$x_{2}-x_{1}=15 t ...(iii)$

Equation (iii) represents the linear path of both stones. Due to this linear relation between $\left(x_{2}-x_{1}\right)$ and $t,$ the path remains a straight line till 8 s.

Maximum separation between the two stones is at $t=8 s$

$\left(x_{2}-x_{1}\right)_{\max }=15 \times 8=120 m$

This is in accordance with the given graph.

After $8 s$, only second stone is in motion whose variation with time is given by

the quadratic equation: $x_{2}-x_{1}=200+30 t-5 t^{2}$

Hence, the equation of linear and curved path is given by

$x_{2}-x_{1}=15 t \quad$ (Linear path)

$x_{2}-x_{1}=200+30 t-5 t^{2} \quad$ (Curved path)