$^n{C_r}{ + ^{n - 1}}{C_r} + ......{ + ^r}{C_r}$ =

$\{1,2,3, \ldots, 20\}$ से $\{1,2,3, \ldots ., 20\}$ पर ऐसे आच्छादक फलनों, जिनके लिये $f ( k )$ तीन का गुणज है जब $k$ चार का गुणज है, की संख्या है 

$n$ का मान निकालिए, यदि

${ }^{2 n} C _{2}:{ }^{n} C _{2}=12: 1$

त्रिकों $(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$, जहाँ $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ भिन्न ऋणोत्तर पूर्णांक हैं तथा $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=15$ को संतुष्ट करते हैं, की संख्या है :

यदि ${ }^{ n } P _{ r }={ }^{ n } P _{ r +1}$ तथा ${ }^{ n } C _{ r }={ }^{ n } C _{ I -1}$ है, तो $r$ बराबर है

किसी समूह में $4$ लड़कियाँ और $7$ लड़के हैं। इनमें से $5$ सदस्यों की एक टीम का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि टीम में एक भी लड़की नहीं है ?

कम से कम $3$ लडकियाँ हैं ?