किसी परीक्षा के एक प्रश्नपत्र में $12$ प्रश्न हैं जो क्रमश: $5$ तथा $7$ प्रश्नों वाले दो खंडों में विभक्त हैं अर्थात् खंड $I$ और खंड $II$. एक विद्यार्थी को प्रत्येक खंड से न्यूनतम $3$ प्रश्नों का चयन करते हुए कुल $8$ प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है ?
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It is given that the question paper consists of $12$ questions divided into two parts - Part $I$ and Part $II$, containing $5$ and $7$ questions, respectively.
A student has to attempt $8$ questions, selecting at least $3$ from each part. This can be done as follows.
$(a)$ $3$ questions from part $I$ and $5$ questions from part $II$
$(b)$ $4$ questions from part $I$ and $4$ questions from part $II$
$(c)$ $5$ questions from part $I$ and $3$ questions from part $II$
$3$ questions from part $I$ and $5$ questions from part $II$ can be selected in $^{5} C _{3} \times^{7} C _{5}$ ways.
$4$ questions from part $I$ and $4$ questions from part $II$ can be selected in $^{5} C _{4} \times^{7} C _{4}$. Ways.
$5$ questions from part $I$ and $3 $ questions from part $II$ can be selected in $^{5} C_{5} \times^{7} C_{3}$ ways.
Thus, required number of ways of selecting questions
$=^{5} C_{3} \times^{7} C_{5}+^{5} C_{4} \times^{7} C_{4}+^{5} C_{5} \times^{7} C_{3}$
$=\frac{5 !}{2 ! 3 !} \times \frac{7 !}{2 ! 5 !}+\frac{5 !}{4 ! 1 !} \times \frac{7 !}{4 ! 3 !}+\frac{5 !}{5 ! 0 !} \times \frac{7 !}{3 ! 4 !}$
$=210+175+35=420$
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$12$ रिक्त स्थानों को भरने के लिए $25$ उम्मीदवार हैं, जिनमें से $5$ अनुसूचित जाति के हैं। यदि $3$ रिक्त स्थान अनुसूचित जाति के उम्मीदवारों के लिये आरक्षित हों जबकि शेष में खुली प्रतियोगिता है, तो चुनाव के कुल तरीके हैं
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किसी समूह में $4$ लड़कियाँ और $7$ लड़के हैं। इनमें से $5$ सदस्यों की एक टीम का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि टीम में एक भी लड़की नहीं है ?
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छ: ‘$+$’ व चार ‘$-$’ चिन्हों को एक सरल रेखा में कुल कितने प्रकार से रखा जा सकता है यदि दो ‘$-$’ कभी भी साथ न आयें
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- [IIT 1988]
मान लीजिए कि
$S _1=\{( i , j , k ): i , j , k \in\{1,2, \ldots, 10\}\}$
$S _2=\{( i , j ): 1 \leq i < j +2 \leq 10, i , j \in\{1,2, \ldots, 10\}\},$
$S _3=\{( i , j , k , l): 1 \leq i < j < k < l, i , j , k , l \in\{1,2, \ldots ., 10\}\}$
और $S _4=\{( i , j , k , l): i , j , k$ और $l\{1,2, \ldots, 10\}$ में भिन्न (distinct) अवयवों (elements) है $\}$
यदि $r =1,2,3,4$ के लिए समुच्चय $S _{ r }$ में कुल अवयवों की संख्या $n _{ r }$ है, तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?
$(A)$ $n _1=1000$ $(B)$ $n _2=44$ $(C)$ $n _3=220$ $(D)$ $\frac{ n _4}{12}=420$
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- [IIT 2021]
एक व्यक्ति के $7$ मित्र हैं। वह कितनी विधियों से उनमें से एक या अधिक को चाय पर बुला सकता है
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