$^n{C_0} - \frac{1}{2}{\,^n}{C_1} + \frac{1}{3}{\,^n}{C_2} - ...... + {( - 1)^n}\frac{{^n{C_n}}}{{n + 1}} = $

यदि ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ और ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $, तो $\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}}$=

$\frac{1}{1 ! 50 !}+\frac{1}{3 ! 48 !}+\frac{1}{5 ! 46 !}+\ldots+\frac{1}{49 ! 2 !}+\frac{1}{51 ! 1 !}$  का  मान है:

श्रेणी $2 .{ }^{20} C _{0}+5 .{ }^{20} C _{1}+8 .{ }^{20} C _{2}+11 .{ }^{20} C _{3}+\ldots  +62 .{ }^{20} C _{20}$ का योग बराबर है

$-{ }^{15} C _{1}+2 \cdot{ }^{15} C _{2}-3 \cdot{ }^{15} C _{3}+\ldots .-15 \cdot{ }^{15} C _{15}+{ }^{14} C _{1}+$ ${ }^{14} C _{3}+{ }^{14} C _{5}+\ldots .+{ }^{14} C _{11}$ का मान है

माना $(1+ x )^{ n }$ के प्रसार में $x ^{ r }$ का द्विपद गुणांक ${ }^{ n } C _{ r }$ है। यदि $\sum_{ k =0}^{10}\left(2^{2}+3 k \right)= C _{ k }=\alpha .3^{10}+\beta .2^{10}, \alpha$, $\beta \in R$ है, $\alpha+\beta$ बराबर है ............ |