यदि f(θ)=left|begin{array}{ccc}-sin ^{2} θ & -1-sin ^{2} θ & 1 -cos ^{2} θ & -

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

यदि $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}-\sin ^{2} \theta & -1-\sin ^{2} \theta & 1 \\ -\cos ^{2} \theta & -1-\cos ^{2} \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2\end{array}\right|$ द्वारा परिभाषित फलन $f :\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ के निम्नतम तथा उच्चतम मान क्रमशः $m$ तथा $M$ हैं, तो क्रमित युग्म $( m , M )$ बराबर है

$(0,4)$

$(-4,4)$

$(0,2 \sqrt{2})$

$(-4,0)$

(JEE MAIN-2020)

Solution

$C _{3} \rightarrow C _{3}-\left( C _{1}- C _{2}\right)$

$f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}-\sin ^{2} \theta & -1-\sin ^{2} \theta & 0 \\ -\cos ^{2} \theta & -1-\cos ^{2} \theta & 0 \\ 12 & 10 & -4\end{array}\right|$

$=-4\left[\left(1+\cos ^{2} \theta\right) \sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta\left(1+\sin ^{2} \theta\right)\right]$

$=-4\left[\sin ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta\right]$

$f(\theta)=4 \cos 2 \theta$

$\theta \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$

$2 \theta \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$

$f(\theta) \in[-4,0]$

$( m , M )=(-4,0)$

Standard 12

Mathematics

यदि $\omega $ इकाई का एक घनमूल हो, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\\omega &{x + {\omega ^2}}&1\\{{\omega ^2}}&1&{x + \omega }\end{array}\,} \right| = $

easy

सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=4 a^{2} b^{2} c^{2}$

hard

यदि $a + x = b + y = c + z +1$ है, जहाँ $a , b , c , x$, $y , z$ शून्येत्तर भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं , तो $\left|\begin{array}{lll} x & a + y & x + a \\ y & b + y & y + b \\ z & c + y & z + c \end{array}\right|$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2020)

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

hard

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{b + c}& a& a\\b& {c + a}& b\\c& c& {a + b}\end{array}\,} \right| = $

medium

Solution

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यदि $\omega $ इकाई का एक घनमूल हो, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\\omega &{x + {\omega ^2}}&1\\{{\omega ^2}}&1&{x + \omega }\end{array}\,} \right| = $

सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=4 a^{2} b^{2} c^{2}$

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए : $\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{b + c}& a& a\\b& {c + a}& b\\c& c& {a + b}\end{array}\,} \right| = $

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सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$