माना $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}$ गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें $i =1,2, \ldots, 10$ के लिये $a _{ i }>0$ है तथा युग्मों $( r , k ), r , k \in N$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय $S$ है जिसके लिये $\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0$ है। तब $S$ में अवयवों की संख्या होगी 

यदि $R$ में किन्हीं $\alpha$ तथा $\beta$ के लिए, निम्न तीन समतलों $x+4 y-2 z=1$, $x+7 y-5 z=\beta$, $x+5 y+\alpha z=5$ का प्रतिच्छेदन, $R ^{3}$ में एक रेखा है, तो $\alpha+\beta$ का मान है 

यदि $\omega $ इकाई का सम्मिश्र घनमूल हो, तो  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&\omega &{ – {\omega ^2}/2}\\1&1&1\\1&{ – 1}&0\end{array}\,} \right| = $

यदि $1,\omega ,{\omega ^2}$ इकाई के घनमूल हैं, तब $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}&1\\{{\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\end{array}\,} \right|$ का मान होगा

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{3x – 8}&3&3\\3&{3x – 8}&3\\3&3&{3x – 8}\end{array}\,} \right| = 0,$ तो $x$ का मान होगा