Left| {,begin{array}{*{20}{c}}1&1&1{cos (nx)}&{cos (n + 1)x}&{cos (n + 2)x}{sin (nx)

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3 and 4 .Determinants and Matrices

medium

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos (nx)}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin (nx)}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}\,} \right|$ निर्भर नहीं करता है

$x$ पर

$ n$ पर

$x$ तथा $n$ दोनों पर

इनमें से कोई नहीं

Solution

(b) $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos nx}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin nx}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}\,} \right|$

${C_1} \to {C_1} + {C_3} – (2\cos x){C_2}$ के प्रयोग से,

$\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{2(1 – \cos x)}&1&1\\0&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\0&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}\,} \right|$

$\Delta = 2(1 – \cos x)[\cos (n + 1)x\sin (n + 2)x$ $ – \cos (n + 2)x\sin (n + 1)x]$

$\Delta = 2(1 – \cos x)\,[\sin (n + 2 – n – 1)x]$ $ = 2\sin x(1 – \cos x)$

अर्थात $\Delta $, $n$. से स्वतंत्र है ।

Standard 12

Mathematics

यदि $\omega $ इकाई का एक घनमूल हो, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\\omega &{x + {\omega ^2}}&1\\{{\omega ^2}}&1&{x + \omega }\end{array}\,} \right| = $

easy

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} – ab}&{b – c}&{bc – ac}\\{ab – {a^2}}&{a – b}&{{b^2} – ab}\\{bc – ac}&{c – a}&{ab – {a^2}}\end{array}\,} \right| = $

easy

यदि $a,b,c$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तो सारणिक $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + x}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + x}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + x}\end{array}\,} \right|$ विभाज्य है

medium

सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए

easy

सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

hard

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos (nx)}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin (nx)}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}\,} \right|$ निर्भर नहीं करता है

Solution

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यदि $\omega $ इकाई का एक घनमूल हो, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\\omega &{x + {\omega ^2}}&1\\{{\omega ^2}}&1&{x + \omega }\end{array}\,} \right| = $

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} – ab}&{b – c}&{bc – ac}\\{ab – {a^2}}&{a – b}&{{b^2} – ab}\\{bc – ac}&{c – a}&{ab – {a^2}}\end{array}\,} \right| = $

यदि $a,b,c$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तो सारणिक $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + x}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + x}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + x}\end{array}\,} \right|$ विभाज्य है

सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए

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