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यदि $a,b,c$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तो सारणिक $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + x}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + x}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + x}\end{array}\,} \right|$ विभाज्य है
${x^3}$ द्वारा
${x^2}$ द्वारा
$({a^2} + {b^2} + {c^2})$ द्वारा
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) $\Delta = \frac{1}{{abc}}\,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} + ax}&{{a^2}b}&{{a^2}c}\\{a{b^2}}&{{b^3} + bx}&{{b^2}c}\\{{c^2}a}&{{c^2}b}&{{c^3} + cx}\end{array}\,} \right|$
=$({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+x)\times \left| \,\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ {{b}^{2}} & {{b}^{2}}+x & {{b}^{2}} \\ {{c}^{2}} & {{c}^{2}} & {{c}^{2}}+x \\ \end{matrix}\, \right|$
$\{{R_1} \to {R_1} + {R_2} + {R_3}\} $ द्वारा $\}$
$ = ({a^2} + {b^2} + {c^2} + x)\,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\{{b^2}}&x&0\\{{c^2}}&0&x\end{array}\,} \right|$ $\left. \begin{array}{l}{C_2} \to {C_2} – {C_1}\\{C_3} \to {C_3} – {C_1}\end{array} \right\}$
= ${x^2}({a^2} + {b^2} + {c^2} + x)$.
अत: $\Delta $,${x^2}$ व $x$ द्वारा विभाज्य है।
