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किसी गुणोत्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें तथा $ r$ वें पद क्रमश: $l,m,n$ हो तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\log l}&{p\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}1\end{array}}\\{\log m}&{q\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}1\end{array}}\\{\log n}&{r\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}1\end{array}}\end{array}\,} \right|$ का मान होगा
$-1$
$2$
$1$
$0$
Solution
माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ तथा सार्वानुपात $R$ हो, तब
$l = A{R^{p – 1}} \Rightarrow \log l = \log A + (p – 1)\log R$ …..$(i)$
$m = A{R^{q – 1}} \Rightarrow \log m = \log A + (q – 1)\log R$ …..$(ii)$
$n = A{R^{r – 1}} \Rightarrow \log n = \log A + (r – 1)\log R$ …..$(iii)$
$(i), (ii)$ तथा $(iii)$ को क्रमश: $(q – r),\,(r – p)\,$ तथा $(p – q)$ से गुणा करके जोड़ने पर हम पाते हैं कि
$\log l\,(q – r) + \log m(r – p) + \log n(p – q) = 0$
$\therefore \,\Delta = 0$.
