यदि $a_{r}=\cos \frac{2 r \pi}{9}+i \sin \frac{2 r \pi}{9}, \quad r=1,2,3, \ldots$, $i=\sqrt{-1}$, तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9}\end{array}\right|$ बराबर है

माना सभी $\mathrm{a} \in \mathrm{R}-\{0\}$, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $a x+2 a y-3 a z=1$

$ (2 a+1) x+(2 a+3) y+(a+1) z=2 $

$ (3 a+5) x+(a+5) y+(a+2) z=3$

का केवल एक हल है तथा अनंत हल है, के समुच्चय क्रमशः $S_1$ तथा $S_2$ है। तो

$\alpha$ के लिए वह मान, जिनके लिए $\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0$ है, किस अंतराल में है ?

यदि $a, b, c$  तथा $d$  सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तब सारणिक $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}2&{a + b + c + d}&{ab + cd}\\{a + b + c + d}&{2(a + b)(c + d)}&{ab(c + d) + cd(a + b)}\\{ab + cd}&{ab(c + d) + cd(a + d)}&{2abcd}\end{array}} \right|$

यदि $x,$ if  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{ – x}&1&0\\1&{ – x}&1\\0&1&{ – x}\end{array}\,} \right| = 0$ तो $x$  का मान होगा