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माना कि दो $3 \times 3$ आव्यूह (matrices) $M$ तथा $N$ इस प्रकार है कि $M N=N M$ है। यदि $M \neq N^2$ तथा $M^2=N^4$ हो, तो
$(A)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक (determinant) का मान शून्य है।
$(B)$ एक ऐसा $3 \times 3$ शून्येतर (non-zero) आव्यूह $U$ है जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है।
$(C)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक मान $\geq 1$ है।
$(D)$ $3 \times 3$ आव्यूह $U$ जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है तो $U$ भी एक शून्य आव्यूह होगा।
$(B,D)$
$(B,C)$
$(A,B)$
$(A,D)$
Solution
$M N=N M \& M^2-N^4=0$
$Image$
$(A)$$\left| M ^2+ MN ^2\right|=| M |\left| M + N ^2\right| $
=0 $(A)$ is correct
$(B)$ If $| A |=0$ then $AU =0$ will have $\infty$ solution. Thus $\left( M ^2+ MN ^2\right) U =0$ will have many ' $U$ ' $( B )$ is correct
$(C)$ Obvious wrong.
$(D)$ If $A X=0 \&|A|=0$ then $X$ can be non zero. $(D)$ is wrong
