જો f (x) વિધેય દરેક x, y, ∈ N માટે f (x + y) = f(x) f(y)

English

Gujarati

Hindi

1.Relation and Function

hard

જો $f\ (x)$ વિધેય દરેક $x, y, \in N$ માટે $f\ (x + y) = f(x) f(y)$ ને સંતોષે જેથી $f(1) = 3$ અને $\sum\limits_{x\, = \,1}^n {{{f}}(x)} \, = \,120$ થાય. તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

A

$4$

B

$5$

C

$6$

D

આપેલ પૈકી એક પણ નહિ

Solution

બધા $x,y \in N$ માટે જયારે $f(x + y) = f(x) f(y)$ હોય, તેથી કોઇપણ $x \in N$

$f(x) = f(x – 1 + 1) = f(x -1) f(1)$

$= f(x – 2) [f(1)]^2 = ……. = [f(1)]^x ⇒ f(x) = 3^x,$ $(f(1) = 3)$

હવે $\sum\limits_{x\, = \,1}^n {{{f}}(x)\,\, = \,\,120\,} \,\,$

$ \Rightarrow \,\,\sum\limits_{x\, = \,1}^n {{3^x}} \, = \,\,120\,\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{3({3^n}\, – \,\,1)}}{{3\,\, – \,\,1}}\,\, = \,\,120\,$

$ \Rightarrow \,\,n\,\, = \,\,4$

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

$x$ ની બધી કિમતો ધરાવતો ગણ મેળવો.

$\frac{{{x^4} – 4{x^3} + 3{x^2}}}{{({x^2} – 4)({x^2} – 7x + 10)}} \ge 0$

normal

ધારો કે $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ એ નીચે આપેલ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે.

$f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1 $ તો $\sum_{\mathrm{k}=1}^{20} \frac{1}{\sin (\mathrm{k}) \sin (\mathrm{k}+\mathrm{f}(\mathrm{k}))}$ ની કિમંત મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2021)

જો $x \in [0, 1]$ હોય તો સમીકરણ $2[cos^{-1}x] + 6[sgn(sinx)] = 3$ ના ઉકેલોની સંખ્યા ………. મળે. (જ્યા $[.]$ મહત્તમ પુર્ણાક વિધેય અને sgn $(x)$ એ ચિહ્ન વિધેય છે)

normal

વિધેય $f(x) = \frac{{{{\sec }^{ – 1}}x}}{{\sqrt {x – [x]} }},$ નો પ્રદેશ મેળવો. ( કે જ્યાં $[.]$ એ મહતમ પૂર્ણાંક વિધેય છે .)

medium

વિધેય $f(x) = \;|px – q|\; + r|x|,\;x \in ( – \infty ,\;\infty )$, કે જ્યાં $p > 0,\;q > 0,\;r > 0$ ની ન્યૂનતમ કિમંત ધારો કે માત્ર એકજ બિંદુએ મળે જો . . .

medium

(IIT-1995)