$2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \le {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} r{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \le {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n{\mkern 1mu} $ for ${\rm{\{ }}{r^n}{\rm{\} }}{\mkern 1mu}  + {\mkern 1mu} 2{\mkern 1mu} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{r{\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} 1}
\end{array}} \right){\mkern 1mu}  + {\mkern 1mu} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{r{\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} 2}
\end{array}} \right){\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} .....$

એક દુકાનમાં પાંચ પ્રકારના આઇસ-સ્ક્રીમ છે.જો એક છોકરો છ આઇસ-સ્ક્રીમ ખરીદે છે.

વિધાન $1$:છોકરો કુલ $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\5\end{array}} \right)$. વિવિધ રીતે છ આઇસ-સ્ક્રીમ ખરીદી શકે છે.

વિધાન $2$: છોકરો વિવિધ રીતે છ આઇસ-સ્ક્રીમ ખરીદી શકે તેવી ગોઠવણી અને છ $A$ અને ચાર $B  $ ને એક સુરેખ હારની ગોઠવણી બરાબર થાય.

એક પુરૂષ $X$ ને $7$ મિત્રો છે તેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ છે અને $3 $ પુરૂષો છે.તેની પત્ની $Y$ ને પણ $7$ મિત્રો છે તેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ છે અને $4$ પુરૂષો છે. માની લો કે $X$ અને $Y$ ને એકપણ સમાન મિત્ર નથી. $X $ અને $Y$  ભેગા મળીને $ 3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરૂષો આમંત્રિત હોય તેવી પાર્ટી કેટલી રીતે આપશે કે જેથી તેમાં $X$ અને $ Y$ દરેકના ત્રણ મિત્રો હોય ? .

Rs.$100$ ની $4$ નોટ અને Rs.$1$, Rs.$2$, Rs.$5$, Rs.$20$ અને Rs.$50$ એ દરેકની એક-એક નોટ ને $3$ બાળકને એવી રીતે વહેચવી છે કે જેથી દરેક બાળકને Rs. $100$ ની એક નોટ મળે જ. આવી વહેચણી કુલ .....રીતે થઇ શકે.

સમતલમાં $10$ બિંદુઓ આવેલા છે અને તે પૈકી $4$ સમરેખ છે. તે પૈકી કોઈપણ બેને જોડતાં બનતી સુરેખાની સંખ્યા કેટલી થાય ?

અંકો $0, 1, 3, 5, 7$ અને $9$ ના ઉપયોગથી પુનરાવર્તન વગર $6$ અંકોની $10$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી કેટલી સંખ્યાઓ બને ?