ધારો કે $x_1, x_2, ……, x_n $ એ $n$ અવલોકનો છે અને ધારો કે $\bar x$એ એમનો સમાંતર મધ્યક છે અને $\sigma^2$ એ તેમનું વિચરણ છે.

વિધાન $ - 1 : 2x_1, 2x_2, ……, 2x_n$ નું વિચરણ $4\sigma^2$ છે.

વિધાન $- 2 : 2x_1, 2x_2, ….., 2x_n$  નો સમાંતર મધ્યક $4\,\bar x$છે.

કોઇ અલગ શ્રેણીમાં (જ્યારે બધા જ મૂલ્યો સમાન ન હોય) સરેરાશ વિચલન, મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન વચ્ચેનો સંબંધ શું થાય ?

બિંદુ $c$  આગળ $x_1, x_2 ……, x_n$ અવલોકનોના ગણનો મધ્યક વર્ગ વિચલન $\frac{1}{n}\,\,\sum\limits_{i\, = \,1}^n {{{({x_i}\, - \,\,c)}^2}} $વડે દર્શાવાય છે. $-2$  અને $2 $ નાં મધ્યક વર્ગ વિચલન અનુક્રમે $18$ અને $10$  હોય, તો આ ગણના અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

વિધાન $1$ : પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો વિચરણ $\frac{{{n^2} - 1}}{3}$ થાય 
વિધાન $2$ : પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ અને પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો વર્ગોનો સરવાળો $\frac{{n\left( {4{n^2} + 1} \right)}}{3}$ થાય 

$y_1$ , $y_2$ , $y_3$ ,..... $y_n$ એ $n$ અવલોકનો છે ${w_i} = l{y_i} + k\,\,\forall \,\,i = 1,2,3.....,n,$ જ્યાં $l$ , $k$ એ અચળો છે જો $y_i's$ નો મધ્યક $48$ અને તેમનો પ્રમાણિત વિચલન $12$ અને $w_i's$ નો મધ્યક $55$ અને પ્રમાણિત વિચલન $15$ હોય તો $l$ અને $k$ ની કિમત મેળવો .

પ્રથમ $n$  પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ શોધો.