અતિવલયની પ્રધાન અને અનુબદ્ધ અક્ષોની લંબાઈ અનુક્રમે $8$ અને $6$ હોય, તો અતિવલયના કોઇપણ બિંદુના નાભિઓથી અંતરનો તફાવત મેળવો.

 

ધારોકે $(3, \alpha)$ બિંદુ પરનો, પરવલય $y ^2=12 x$ નો સ્પર્શક એ રેખા $2 x +2 y =3$ ને લંબ છે. તો અતિવલય $\alpha^2 x ^2-9 y ^2=9 \alpha^2$ ના બિંદુ $(\alpha-1, \alpha+2)$ પરના અભિલંબથી બિંદુ $(6,-4)$ ના અંતરની વર્ગ $........$ થશે.

$0 < \theta  < \frac{\pi }{2}$.જો અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\,\theta }} - \frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\,\theta }} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $2$ કર્તા વધારે હોય તો નાભીલંબની મહતમ લંબાઈ ક્યાં અંતરાલમાં મળે,

અતિવલય $H : x^{2}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b >0$, માટે ધારોકે

$(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાની વ્યસ્ત છે, અને

$(2)$ રેખા $y=\sqrt{\frac{5}{2}} x+ K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.

તો $4\left(a^{2}+b^{2}\right)=$ ...........

અતિવલય $4x^2 -5y^2 = 20$ ના રેખા $x -y = 2$ ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવો. 

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ ની નાભી અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{144}-\frac{ y ^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ નાભી  સંપાતી છે તો અતિવલયના નાભીલંભની લંબાઈ મેળવો.