અતિવલય $ \frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, - \,\,\frac{{{{\left( {y\,\, - \,\,2} \right)}^2}}}{9}\,\, = \,\,1\,$   ની  નાભીઓ.......

જો વર્તૂળએ લંબાતિવલય $xy = 1$ ને બિંદુ $(x_r, y_r)$ જ્યાં $r = 1, 2, 3, 4$ છેદે છે , તો :

અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1$ નો સ્પર્શક $x-$ અક્ષને બિંદુ $P$ અને $y-$ અક્ષને બિંદુ $Q$ આગળ છેદે છે રેખા $PR$ અને $QR$ એવી રીતે મળે કે જેથી $OPRQ$ એ લંબચોરસ મળે (જ્યાં $O$ એ ઉંગમબિંદુ છે) તો બિંદુ $R$ નો બિંદુપથ મેળવો.

જો જેનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, -2\sqrt 3)$ માંથી પસાર થતાં અતિવલયની નિયમિકાનું સમીકરણ $5x = 4\sqrt 5$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હોય તો ... 

અતિવલય $H : x ^{2}-2 y ^{2}=4$ આપેલ છે. જો બિંદુ $P (4, \sqrt{6})$ આગળનો સ્પર્શક $x$ -અક્ષને બિંદુ $Q$ અને નાભીલંભને  બિંદુ $R \left( x _{1}, y _{1}\right), x _{1}>0 $ આગળ છેદે છે. જો $F$ એ $H$ ની બિંદુ $P$ થી નજીકની નાભી હોય તો  $\Delta QFR$ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

જો  $\mathrm{e}_{1}$ અને  $\mathrm{e}_{2}$ એ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{9}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ ની  ઉકેન્દ્રીતા હોય  અને બિંદુ $\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right)$ એ ઉપવલય $15 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=\mathrm{k},$ પર હોય તો  $\mathrm{k}$ મેળવો.