- Home
- Standard 11
- Mathematics
અતિવલય $H : x^{2}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b >0$, માટે ધારોકે
$(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાની વ્યસ્ત છે, અને
$(2)$ રેખા $y=\sqrt{\frac{5}{2}} x+ K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
તો $4\left(a^{2}+b^{2}\right)=$ ...........
$2$
$0$
$1$
$3$
Solution
$e _{ E }=\sqrt{1-\frac{ b ^{2}}{ a ^{2}}}, e _{ H }=\sqrt{2}$
If $\Rightarrow e _{ E }=\frac{1}{ e _{ H }}$
$\Rightarrow \frac{ a ^{2}- b ^{2}}{ a ^{2}}=\frac{1}{2}$
$2 a ^{2-2 b } 2= a ^{2}$
$a ^{2}=2 b ^{2}$
and $y =\sqrt{\frac{5}{2}} x + k$ is tangent to ellipse then
$K ^{2}= a ^{2} \times \frac{5}{2}+ b ^{2}=\frac{3}{2}$
$\therefore b ^{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow b ^{2}=\frac{1}{4}$ and $a ^{2}=\frac{1}{2}$
$\left.\therefore a ^{2}+ b ^{2}\right)=3$
