- Home
- Standard 11
- Mathematics
ધારોકે બિંદુ $P (4,1)$ માંથી અતિવલય $H: \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ છે.જો $Q$ એવું બિંદ્દુ હોય કે જેમાથી $H$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ હોય અને તેનો $x$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડો $\alpha$ અને $\beta$ બનાવે,તો $\frac{(P Q)^2}{\alpha \beta}=........$
$6$
$5$
$8$
$4$
Solution
Equation of tangent to the hyperbola $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$
$y=m x \pm \sqrt{a^2-b^2 m^2}$
passing through $(4,1)$
$1=4 m \pm \sqrt{25-16 m ^2} \Rightarrow 4 m ^2- m -3=0$
$\Rightarrow m =1, \frac{-3}{4}$
Equation of tangent with positive slopes $1 \& \frac{3}{4}$. $\left.\begin{array}{l}4 y=3 x-16 \\ y=x-3\end{array}\right\}$ with positive intercept on $x$-axis.
$\alpha=\frac{16}{3}, \beta=3$
Intersection points:
$Q:(-4,-7)$
$P:(4,1)$
$PQ ^2=128$
$\frac{P^2}{\alpha \beta}=\frac{128}{16}=8$
