બિંદુ $ (1, 2)$  માંથી ઉપવલય $ 3x^2 + 2y^2 = 5$  પર દોરાતા સ્પર્શકોની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો.....

ઉપવલયો $E_k: k x^2+k^2 y^2=1, k=1,2, \ldots, 20$ ધ્યાને લો. જેનું એક અંત્યબિંદુ પ્રધાન અક્ષ પર અને બીજું ગૌણ અક્ષ પર હોય તેવી, ઉપવલય $E_k$ ની યાર જીવાઆને સ્પર્શતું વર્તુળ ધારો કે $C_K$ છે.જો $r_k$ એ વર્તુળ $C_k$ ની ત્રિજ્યા હોય, તો $\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{1}{r_k^2}$ નું મૂલ્ય $........$ છે.

ધારો કે કોઈક ઉપવલય $\frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{4}$ છે. જો આ ઉપવલય,બિંદુ $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ માંથી પસાર થતો હોય તો,$a^{2}+b^{2}=\dots\dots\dots$

ઉપવલયનો નાભિલંબ $10$ છે અને ગૌણઅક્ષની લંબાઈ નાભિઓ વચ્ચેના અંતર બરાબર હોય તો ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.

રેખા $x=8$એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ની નાભિ $(2,0)$ને સુસંગત નિયામિકા છે.પ્રથમ ચરણમાં $E$ના બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક જો બિંદુ $(0,4 \sqrt{3})$ માંથી પસાર થતો હોય અને $x-$અક્ષને $Q$ બિંદુ આગળ છેદતો હોય,તો $(3PQ)^2=.........$

જે ઉપવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $ 8 $ હોય અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $18 $  હોય, તે ઉપવલયનું સમીકરણ $ (a > b) .....$