- Home
- Standard 11
- Mathematics
અહી પરવલય $P: y^{2}=4 x$ ની નાભીજીવા એ રેખા $L: y=m x+c, m>0$ ને સંપાતી છે કે જે પરવલય ને બિંદુઓ $M$ અને $N$ માં છેદે છે. જો રેખા $L$ એ અતિવલય $H : x ^{2}- y ^{2}=4$ નો સ્પર્શક છે .જો $O$ એ $P$ નું શિરોબિંદુ છે અને $F$ એ $H$ ની ધન $x-$અક્ષ પરની નાભી હોય તો ચતુષ્કોણ $OMFN$ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.
$2 \sqrt{6}$
$2 \sqrt{14}$
$4 \sqrt{6}$
$4 \sqrt{14}$
Solution
$H : \frac{ x ^{2}}{4}-\frac{ y ^{2}}{4}=1$
Focus (ae, 0)
$F (2 \sqrt{2}, 0)$
Line L: $y = mx + c$ pass $(1,0)$
$o = m + C$…….(1)
Line $L$ is tangent to Hyperbola. $\frac{ x ^{2}}{4}-\frac{ y ^{2}}{4}=1$
$C=\pm \sqrt{a^{2} m^{2}-\ell^{2}}$
$C=\pm \sqrt{4 m^{2}-4}$
From $(1)$
$- m =\pm \sqrt{4 m ^{2}-4}$
Squaring
$m^{2}=4 m^{2}-4$
$4=3 m^{2}$
$\frac{2}{\sqrt{3}}= m \quad($ as $m >0)$
$C =- m$
$C =\frac{-2}{\sqrt{3}}$
$y =\frac{2 x }{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}$
$y ^{2}=4 x$
$\Rightarrow\left(\frac{2 x -2}{\sqrt{3}}\right)^{2}=4 x$
$\Rightarrow x ^{2}+1-2 x =3 x$
$\Rightarrow x ^{2}-5 x +1=0$
$y ^{2}=4\left(\frac{\sqrt{3} y +2}{2}\right)$
$y ^{2}=2 \sqrt{3} y +4$
$\Rightarrow y ^{2}-2 \sqrt{3} y -4=0$
Area,$\left|\frac{1}{2}\right| \begin{array}{lllll}0 & x _{1} & 2 \sqrt{2} & x _{2} & 0 \\ 0 & y _{1} & 0 & y _{2} & 0\end{array} \mid$
$=\left|\frac{1}{2}\left[-2 \sqrt{2} y _{1}+2 \sqrt{2} y _{2}\right]\right|$
$=\sqrt{2}\left| y _{2}- y _{1}\right|=\frac{(\sqrt{2}) \sqrt{12+16}}{111}$
$=\sqrt{56}$
$=2 \sqrt{14}$
