ઉપવલય frac{{{x^2}}}{{{a^2}}},, + ,frac{{{y^2}}}{{{b^2}}},, = ,,1 પર બે

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ પર બે બિંદુઓ ${\theta _1}\,$ અને ${\theta _2}$ ની જીવા . . . બિંદુ આગળ કાટખૂણે બનાવે છે. (જો ${\text{tan}}\,\,{\theta _{\text{1}}}\,\tan {\theta _2}\,\, = \,\, - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$ )

નાભિકેન્દ્ર

કેન્દ્ર

પ્રધાન અક્ષના અંત્યબિંદુ

ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ

Solution

ધરોકે $P\,\left( {a\cos \,\,{\theta _1},\,\,b\,\sin \,\,{\theta _1}} \right)$ અને $\,Q\,\,\left( {a\cos \,\,{\theta _2},\,\,b\,\,\sin {\theta _2}} \right)$ ઉપવલય પરના બે બિંદુઓ છે તો

${m_1}\,\, = \,\,OP$ નો ઢાળ ${O\,}$ કેન્દ્ર છે $ = \,\,\frac{b}{a}\,\,\tan {\theta _1}\,\,;\,\,{m_2}\,\, = \,\,OQ\,\,\,$ નો ઢાળ $ = \,\,\frac{b}{a}\,\,\,\tan \,\,{\theta _2}\,$

$\therefore \,\,{m_1}{m_2}\,\, = \,\,\frac{b}{a}\,\,\,\tan \,\,{\theta _1}\,.\,\frac{b}{a}\,\,\tan \,\,{\theta _2}$

$ = \,\,\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\,\,\,\tan \,\,{\theta _1}\,\,\tan \,\,{\theta _2}$

$\left( {\because \,\,\tan \,\,{\theta _1}\tan {\theta _2}\,\, = \,\, – \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)\,\, = \,\,\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\,\,\left( { – \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)\,$

$ = \,\, – 1\,\,\angle POQ\,\, = \,\,90^\circ $

જેથી $PQ$ ઉપવલયના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો બનાવે છે

Standard 11

Mathematics