ઉપવલય  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ પર બે બિંદુઓ  ${\theta _1}\,$ અને ${\theta _2}$  ની જીવા . .  .  બિંદુ આગળ કાટખૂણે  બનાવે છે. (જો ${\text{tan}}\,\,{\theta _{\text{1}}}\,\tan {\theta _2}\,\, = \,\, - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$  )

સમીકરણ $ \frac{{{x^2}}}{{10\,\, - \,\,a}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{4\,\, - \,\,a}}\,\, = \,\,1\,$ એ ઉપવલય છે તેમ ક્યારે દર્શાવે:

જો ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ (તેની અક્ષોને અનુક્રમે $x$ અને $y$ ની અક્ષ તરીકે લેતા) ના અંત્યબિંદુનું નાભિ અંતર $k$ હોય અને તેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2h$ હોય તો તેનું સમીકરણ :

આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ

$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{100}=1$

આપેલ શરતોનું સમાધાન કરતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધોઃ શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm 13),$ નાભિઓ $(0,\,±5)$

બિંદુ $ (1, 2)$  માંથી ઉપવલય $ 3x^2 + 2y^2 = 5$  પર દોરાતા સ્પર્શકોની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો.....