- Home
- Standard 11
- Mathematics
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$, a $>2$, ની અંતર્ગત, જેનું એક શિરોબિંદુ આ ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષનું એક અંત્ય બિંદુ હોય અને જેની એક બાજુ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય તેવા ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $6 \sqrt{3}$ છે. તો આ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા ....... છે,
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{4}$
Solution
$A=\frac{1}{2} a(1-\cos \theta)(4 \sin \theta)$
$A =2 a (1-\cos \theta) \sin \theta$
$\frac{ dA }{ d \theta}=2 a \left(\sin ^{2} \theta+\cos \theta-\cos ^{2} \theta\right)$
$\frac{ dA }{ d \theta}=0 \Rightarrow 1+\cos \theta-2 \cos ^{2} \theta=0$
$\cos \theta=1 \text { (Reject })$
OR
$\cos \theta=\frac{-1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{2 \pi}{3}$
$\frac{ d ^{2} A }{ d \theta^{2}}=2 a \left(2 \sin ^{2} \theta-\sin \theta\right)$
$\frac{ d ^{2} A }{ d \theta^{2}}<0 \text { for } \theta=\frac{2 \pi}{3}$
Now, $A _{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{2} a =6 \sqrt{3}$
$a=4$
Now, $e =\sqrt{\frac{ a ^{2}- b ^{2}}{ a ^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
