- Home
- Standard 11
- Mathematics
બિંદુ $P$ એવી રીતે ખસે છે કે જેથી $(ae, 0)$ અને $(-ae, 0)$ બિંદુથી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $2a$ રહે છે. તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.(જ્યાં $0 < e < 1$).
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}(1 - {e^2})}}\,\,\, = \,\,1$
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}\,(1 - {e^2})}}\,\, = \,\,1$
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}(1 - {e^2})}}\,\, + \,\,\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}}}\,\, = \,\,1$
એકપણ નહિ
Solution
ધારો કે $P\ (h, k)$ એવુ ખસતું બિંદુ છે. કે જેથી $A\ (ae, 0)$ અને $B\ (-ae, 0)$ બિંદુથી તેના અંતરનો સરવાળો $2a$ છે.
માટે, $PA + PB = 2a$
$ \Rightarrow \,\,\,\sqrt {{{(h – ae)}^2} + \,\,{{(k – 0)}^2}} \,\, + \,\,\,\sqrt {{{(h + ae)}^2}\,\, + \,\,{{(k – 0)}^2}} \,\, = \,\,2a$
$ \Rightarrow \,\,\sqrt {{{(h – ae)}^2}\,\, + \,\,{k^2}} \,\, = \,\,2a\,\, – \,\,\sqrt {{{(h + ae)}^2} + \,\,{k^2}} $
$ \Rightarrow \,\,{(h – ae)^2}\, + \,\,{k^2}\,\, = \,\,4{a^2}\, + \,\,{(h\, + \,\,ae)^2}\,\, + \,\,{k^2}$$\, – \,\,4a\,\sqrt {{{(h\, + \,ae)}^2}\,\, + \,\,{k^2}} $ [બને બાજુ વર્ગ કરતાં]
$ \Rightarrow \,\, – 4\,aeh\,\, – \,\,4{a^2}\, = \,\, – 4a\,\,\sqrt {{{(h\, + \,\,ae)}^2}\, + \,\,{k^2}} \,\,$$ \Rightarrow \,\,(eh\,\, + \,\,a)\,\, = \,\,\sqrt {{{(h\,\, + \,\,ae)}^2} + {k^2}} $
$ \Rightarrow \,\,{(eh\,\, + \,\,a)^2}\, = \,\,{(h\, + \,\,ae)^2}\, + \,{k^2}$[બને બાજુ વર્ગ કરતાં]
$ \Rightarrow \,{e^2}{h^2} + \,\,2eah\,\, + \,{a^2}\, = \,\,{h^{2\,\,}} + \,\,2eah\,\, + \,\,{a^2}{e^2}\, + \,{k^2}$
$ \Rightarrow \,\,{h^2}\,(1 – {e^2})\,\, + \,\,{k^2}\, = \,\,{a^2}\,\,[1 – {e^2}]\,$$ \Rightarrow \,\,\frac{{{h^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \,\,\,\frac{{{k^2}}}{{{a^2}(1 – {e^2})}}\,\,\, = \,\,1$
આથી $\,(h\,,\,\,k)$ નો બિંદુ પથ ${\rm{ }}\,\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \,\,\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}(1 – {e^2})}}\,\, = \,1\,\,\,$ છે.
