અક્ષો વચ્ચે અંત:ખંડ કાપતાં ઉપવલયના સ્પર્શકોના ભાગના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ :

અહી $S=\left\{(x, y) \in N \times N : 9(x-3)^{2}+16(y-4)^{2} \leq 144\right\}$ અને $\quad T=\left\{(x, y) \in R \times R :(x-7)^{2}+(y-4)^{2} \leq 36\right\}$ હોય તો $n ( S \cap T )$ ની કિમંત $......$ થાય.

ધારોકે ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ પર ના બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ પાસે ના સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષને અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ માં મળે છે. ધારોકે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળ $C$ દોરી શકાય છે અને રેખા $x=2 \sqrt{5}$ એ $\alpha^2-\beta^2=........$

ધારો કે $P$ એ $F_1$ અને $F_2$ નાભિઓ વાળા ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$પરનું ચલિત બિંદુ છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય તો $A$ નું મહત્તમ મુલ્ય :

બિંદુ $P\ (3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = \,\,1$પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શ છે.$A$ અને $B$ ના યામ મેળવો.

જેના પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $20$ હોય અને નાભિઓ $(0,\,\pm 5)$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.