ઉપવલય $2x^2 + 5y^2 = 20$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(4, -3)$ નું સ્થાન :

જેનાં નાભિઓ $(±5,\,0)$. હોય અને શિરોબિંદુઓ $(±13,\,0)$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.

જો ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ ના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ રેખા $2x + y = 4$ ને સમાંતર અને બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક બિંદુ $Q(4, 4)$ માંથી પસાર થતો હોય તો $PQ$ = 

પ્રકાશનું કિરણ બિંદુ $(2,1)$ માંથી પસાર થાય ને $y$ - અક્ષ પરનું બિંદુ $P$ થી પરાવર્તિત પામી ને બિંદુ $(5,3)$ માંથી પસાર થાય છે. પરાવર્તિત કિરણ એ ઉપવલયની નિયામિકા બને છે  કે જેની ઉત્કેન્દ્રિતા $\frac{1}{3}$  છે અને નજીકના નાભીનું આ નિયામિકા થી અંતર $\frac{8}{\sqrt{53}}$ હોય તો બીજી નિયમિકાનું સમીકરણ મેળવો.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ, પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ, ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો. 

${\text{c}}$ ના જે મુલ્ય માટે $y\, = \,\,\,4x\,\, + \;\,c$ એ વક્ર $\frac{{{x^2}}}{4}\,\, + \;\,{y^2}\, = \,\,1\,\,$ ને સ્પર્શે તો મુલ્યોની સંખ્યા........