આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : શિરોબિંદુઓ $(\pm 7,\,0)$, $e=\frac{4}{3}$
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : શિરોબિંદુઓ $(\pm 7,\,0)$, $e=\frac{4}{3}$
Vertices $(\pm 7,\,0)$, $e=\frac{4}{3}$
Here, the vertices are on the $x-$ axis.
Therefore, the equation of the hyperbola is of the form $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
since the vertices are $(\pm 7,\,0),\,\,a =7$
It is given that $e=\frac{4}{3}$
$\therefore \frac{c}{a}=\frac{4}{3} \,\,\,\left[e=\frac{c}{a}\right]$
$\Rightarrow \frac{c}{7}=\frac{4}{3}$
$\Rightarrow c=\frac{28}{3}$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore 7^{2}+b^{2}=\left(\frac{28}{3}\right)^{2}$
$\Rightarrow b^{2}=\frac{784}{9}-49$
$\Rightarrow b^{2}=\frac{784-441}{9}=\frac{343}{9}$
Thus, the equation of the hyperbola is $\frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{343}=1$
Similar Questions
વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ અને અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = \,\,1\,$બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે. રેખા $2x + y = 1$ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$નો સ્પર્શક છે. જો આ રેખા એ ખૂબ જ નજીકની નિયામિકા અને $x$-અક્ષોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.
વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ અને અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = \,\,1\,$બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે. રેખા $2x + y = 1$ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$નો સ્પર્શક છે. જો આ રેખા એ ખૂબ જ નજીકની નિયામિકા અને $x$-અક્ષોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.
જો $\mathrm{e}_{1}$ અને $\mathrm{e}_{2}$ એ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{9}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ ની ઉકેન્દ્રીતા હોય અને બિંદુ $\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right)$ એ ઉપવલય $15 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=\mathrm{k},$ પર હોય તો $\mathrm{k}$ મેળવો.
જો $\mathrm{e}_{1}$ અને $\mathrm{e}_{2}$ એ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{9}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ ની ઉકેન્દ્રીતા હોય અને બિંદુ $\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right)$ એ ઉપવલય $15 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=\mathrm{k},$ પર હોય તો $\mathrm{k}$ મેળવો.
- [JEE MAIN 2020]
અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1$ માટે જો $'\alpha '$ ને બદલવામાં આવે છે તો . . .. અચળ રહે છે .
અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1$ માટે જો $'\alpha '$ ને બદલવામાં આવે છે તો . . .. અચળ રહે છે .
- [IIT 2003]
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm 5),$ નાભિઓ $(0,\,±8)$
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm 5),$ નાભિઓ $(0,\,±8)$
રેખા $ ℓx + my + n = 0$ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ નો સ્પર્શક ક્યારે કહેવાય ?
રેખા $ ℓx + my + n = 0$ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ નો સ્પર્શક ક્યારે કહેવાય ?