જો f(x) = x^{alpha} logx, x 0, f(0) = 0 | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

અહી $ f(x) = x^{\alpha} logx$  એ $x \in (0, 1) $ માં વિકલનીય છે.

$f(x) = x^{\alpha} logx$  એ $x \in [0, 1]$  માં સતત છે.

$= x^{\alpha

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

અહી $ f(x) = x^{\alpha} logx$  એ $x \in (0, 1) $ માં વિકલનીય છે.

$f(x) = x^{\alpha} logx$  એ $x \in [0, 1]$  માં સતત છે.

$= x^{\alpha } logx $ એ $x \in [0, 1]$  માં જમણી બાજુ સતત છે. જેથી $ f(0) = 0 $ થાય.

હવે, ${f}{m{(0}}\, + \,{m{h)}}\, = \,\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}{h^\alpha }\,\log h$

$\alpha \, = \,{m{ - }}\,{m{2}}\,$ માટે $\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,{h^{ - 2}}\,\log h\, = \,\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,\frac{{\log \,h}}{{{h^2}}}\,\, = \,\,\infty $

$\alpha \,\, = \,\, - \,\,1\,$ માટે $\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,\,{h^{ - 1}}\log h\,\, = \,\,\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,\frac{{\log \,h}}{h}\,\, = \,\,\infty $

$\alpha \, = \,0$ માટે $\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,{h^0}\,\log h\, = \,1.\infty \,\, = \,\,\infty $

$\alpha \, = \,\,\frac{1}{2}$ માટે $\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,{h^{1/2}}\,\log h\,(0\, 	imes \,\infty $ સ્વરૂપ $)$

$ = \,\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,\frac{{\log h}}{{{h^{ - 1/2}}}}\,\, = \,\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\,\,\frac{{1/h}}{{ - \frac{1}{2}{h^{ - 3/2}}}}\,\, = \,\,\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{h 	o 0}
\end{array}\, - \,\,\frac{{2{h^{3/2}}}}{h}\,\, = \,\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim }\
{\,h 	o 0}
\end{array}\, - 2{h^{1/2}}\, = \,\,0$

જો $ f(x) = x^{\alpha} logx, x > 0, f(0) = 0 $ અને $ x \in [0, 1]$ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે, હોય તો $\alpha =$ કેટલા થાય ?

Similar Questions

અંતરાલ $[1, a]$ પર વિધેય $f(x) = 2x^2 + 3x + 5$ એ $x = 3$ આગળ મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરે છે તો $a$ ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે બધા $x $ માટે $ f $ વિકલનીય છે. જો $x \in [1, 6]$ માટે $f (1) = -2$ અને $ f'(x) \geq 2$ હોય, તો......

જો $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2}\ln x,\,x > 0} \\
{0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0}
\end{array}} \right\}$ ,અને $x \in [0,1]$ માં વિધેય $f$ એ રોલનું પ્રમેય નું પાલન કરતુ હોય તો

જો $f:[-5,5] \rightarrow \mathrm{R}$ વિકલનીય વિધેય હોય અને $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય શૂન્ય ના બને તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$