જો $ f(x) = x^{\alpha} logx, x > 0, f(0) = 0 $ અને $ x \in  [0, 1]$  રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે, હોય તો $\alpha =$  કેટલા થાય ?

વિધેય ${{{x^2} - 3x} \over {x - 1}}$ એ . . . અંતરાલ માટે રોલ ના પ્રમેયની શરતો નું પાલન કરે છે .

જો $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \,\in [1, 3]$ એ રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે અને ${f}'\,\left( {2\, + \,\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\, = \,0$ થાય, તો $a$ અને $b$ શોધો.

જો $2a + 3b + 6c = 0$, $a, b, c \in R$ હોય, તો સમીકરણ .......નું ઓછામાં ઓછું એક $0$ બીજ અને $1$ વચ્ચે છે.

વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ છે કે જેથી $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\,\sin \,x\, - \,\frac{\pi }{2}} $ અને  $f'(x).g (x) = cos^2\,x$ હોય તો અંતરાલ  $(0,3 \pi$) પર સમીકરણ $f(x) + g(x) = 0$ ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.

જો $ f(x)  $ એ $ [2, 5]$ અંતરાલમાં વિકલનીય હોય કે જ્યાં $ f(2) = 1/5 $ અને $ f(5) = 1/2$ થાય, તો અસ્તિત્વ ધરાવતી સંખ્યા $c, 2 < c < 5 $ કે જો માટે $ f'(c) = ……$