ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એ એવું ત્રીવિક્લનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-$ $1, f(3)=2$ અને $f(4)=-2$. તો $\left(3 f^{\prime} f^{\prime \prime}+f f^{\prime \prime}\right)(x)$ નાં શૂન્યની ન્યૂનતમ સંખ્યા ......... છે.

જો $y = f (x)$ અને  $y = g (x)$ એ $[0,2]$ પર બે વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0) = 3,$ $f(2) = 5$ , $g (0) = 1$ અને $g(2) = 2$ થાય. જો ઓછામાં ઓછો એક $c \in \left( {0,2} \right)$ મળે કે જેથી $f'(c)=kg'(c)$ થાય તો $k$ મેળવો.

$\left[ {\frac{\pi }{6},\,\frac{{5\pi }}{6}} \right]\,\,$  અતરલમાં વિધેય ${f}{\text{(x)  =  logsinx }}$ માટે લાંગ્રાજના પ્રમેયના $c$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય  $?$

જો સમીકરણ $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ …. + a_1x = 0 $ નું ધન બીજ $x = \alpha $ હોય, તો સમીકરણ $na_nx^{n-1 } + (n - 1) a_{n-1}x^{n-2} + …. + a_1 = 0$  નું ધન બીજ કેવું હોય ?

જો વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ એ અંતરાલ $[-1, 1 ]$ પર બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય $2a + b$ ની કિમંત મેળવો.

જો $ f(x) = x^{\alpha} logx, x > 0, f(0) = 0 $ અને $ x \in  [0, 1]$  રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે, હોય તો $\alpha =$  કેટલા થાય ?