निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R.$

$R =\{(x, y): x, y$ से ठीक-ठीक $7$ सेमी लंबा है $\}$

मान लीजिए कि समुच्चय $A$ में धन पूर्णाकों के क्रमित युग्मों (ordered pairs)का एक संबंध $R ,(x, y) R (u, v),$ यदि और केवल यदि, $x v=y u$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है।

मान $P$ सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक ऐसा संबंध है कि $P =\left\{( a , b ): \sec ^{2} a -\tan ^{2} b =1\right\}$ है, तो $P$

$n \times n$ के वास्तविक आव्यूहों $A$ तथा $B$ के एक समूह पर एक संबंध $R$ निम्न प्रकार से परिभाषित है :

"$ARB$ यदि और केवल यदि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ का अस्तित्व है। जिसके लिए $PAP -1= B$ है'। तो निम्न में से कौन-सा सत्य है ?

मान लीजिए कि $T$ किसी समतल में स्थित समस्त त्रिभुजों का एक समुच्चय है। समुच्चय $T$ में $R =\left\{\left( T _{1}, T _{2}\right): T _{1}, T _{2}\right.$ के सर्वागंसम है $\}$ एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता
संबंध है।