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1.Relation and Function
hard
माना $N$ प्राकतिक संख्याओं का समुच्चय है और $N$ पर एक संबंध $R$ निम्न द्वारा परिभाषित है : $R=\left\{(x, y) \in N \times N: x^{3}-3 x^{2} y-x y^{2}+3 y^{3}=0\right\} \mid$ तो संबंध $R$
A
सममित है, परन्तु न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है
B
स्वतुल्य है, परन्तु न तो सममित है और न ही संक्रामक है
C
स्वतुल्य और सममित है, परन्तु संक्रामक नहीं है
D
एक तुल्यता संबंध है
(JEE MAIN-2021)
Solution
$x^{3}-3 x^{2} y-x y^{2}+3 y^{3}=0$
$\Rightarrow x(x-y)(x+y)-3 y(x-y)(x+y)=0$
$\Rightarrow(x-3 y)(x-y)(x+y)=0$
Now, $x=y \forall(x, y) \in N \times N$ so reflexive
But not symmetric \& transitive
See, $(3,1)$ satisfies but $(1,3)$ does not.
Also $(3,1) \,\&\,(1,-1)$ satisfies but $(3,-1)$ does not
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