પૃથ્વીની આસપાસ $10 \,kg$ નો એક ઉપગ્રહ (સેટેલાઈટ) $8000\, km$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળ કક્ષામાં દર બે કલાકે એક વખત ભ્રમણ કરે છે. બોહરનો કોણીય વેગમાનનો અધિતર્ક, હાઈડ્રોજન પરમાણુમાંના ઈલેક્ટ્રૉનની જેમ જ ઉપગ્રહને પણ લાગુ પડે છે એમ ધારીને ઉપગ્રહની કક્ષાનો ક્વૉન્ટમ અંક શોધો.
પૃથ્વીની આસપાસ $10 \,kg$ નો એક ઉપગ્રહ (સેટેલાઈટ) $8000\, km$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળ કક્ષામાં દર બે કલાકે એક વખત ભ્રમણ કરે છે. બોહરનો કોણીય વેગમાનનો અધિતર્ક, હાઈડ્રોજન પરમાણુમાંના ઈલેક્ટ્રૉનની જેમ જ ઉપગ્રહને પણ લાગુ પડે છે એમ ધારીને ઉપગ્રહની કક્ષાનો ક્વૉન્ટમ અંક શોધો.
સમીકરણ પરથી આપણને
$m v_{n} r_{n}=n h / 2 \pi$
મળે. અત્રે $m = 10\, kg$ અને $r_n = 8 \times 10\, m$. આપણને ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T $ તરીકે $2 h$ મળે છે. એટલે કે $T =7200\, s$
આમ, વેગ , $v_{n}=2 \pi r_{n} / T$. ઉપગ્રહની કક્ષાનો ક્વૉન્ટમ અંક $n=\left(2 \pi r_{n}\right)^{2} \times m /(T \times h)$
યોગ્ય મૂલ્યો અવેજ કરતાં,
$n = (2\pi \times 8 \times 10^6\,m^2) \times 10/ (7200\, s \times 6.64 \times 10^{-34}\,Js)$
$ = 5.3 \times 10 ^{45}$ એ નોંધો કે ઉપગ્રહ માટેનો ક્વૉન્ટમ અંક અત્યંત મોટો છે ! હકીકતમાં આવા મોટા ક્વૉન્ટમ અંકો માટે ક્વૉન્ટમીકરણની શરતોનાં પરિણામો પ્રચલિત ભૌતિકવિજ્ઞાનથી મળતાં પરિણામો જેવાં હોય છે.
Similar Questions
પરમાણુઓ વિદ્યુતની દૃષ્ટિએ તટસ્થ શાથી હોય છે ?
પરમાણુઓ વિદ્યુતની દૃષ્ટિએ તટસ્થ શાથી હોય છે ?
પરમાણુનો રાસાયણિક સ્વભાવ .......પર આધાર રાખે છે.
પરમાણુનો રાસાયણિક સ્વભાવ .......પર આધાર રાખે છે.
પ્રચલિત સિદ્ધાંતો મુજબ, ન્યુક્લિયસની ફરતે ઈલેક્ટ્રૉન કોઈ પણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પછી પરમાણુનું લાક્ષણિક પરિમાણ શાના પરથી નક્કી થાય છે? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક પરિમાણ કરતાં હજાર ગણો મોટો કેમ નથી? આ પુસ્તકમાં તમે શીખ્યા તે પ્રખ્યાત મોડેલ પર પહોંચતાં અગાઉ બોહરને આ પ્રશ્નએ ખૂબ મૂંઝવી દીધો હતો? તેણે શોધ અગાઉ શું કર્યું હશે તેને મૂર્તિમંત (Simulate) કરવા માટે, કુદરતના મૂળભૂત અચળાંકોની મદદથી, આપણે નીચેની રમત કરીએ અને જોઈએ કે આપણને પરમાણુના જાણીતા પરિમાણ $(\sim 10^{-10}\, m)$ ના લગભગ જેટલી લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવતી રાશિ મળે છે કે કેમ?
$(a)$ મૂળભૂત અચળાંકો $e, m$ અને $c$ પરથી લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો. તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધો.
$(b)$ તમે જોશો કે $(a)$ માં મેળવેલી લંબાઈ, પરમાણુના પરિમાણ કરતાં માનના (મૂલ્યના) ઘણાં ક્રમોથી નાની છે. ઉપરાંત તેમાં રહેલ છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઊર્જાઓ મહદ્અંશે બિન-સાપેક્ષવાદીય વિસ્તારોમાં હોય છે જ્યાં $c$ કોઈ મહત્વનો ભાગ ભજવે છે તે અપેક્ષિત નથી. કદાચ આ બાબતે બોહરને એમ સૂચવ્યું હશે કે $c$ ને દૂર કરવો અને પરમાણુનું સાચું પરિમાણ મેળવવા માટે 'કંઈક બીજું' શોધવું. હવે, તે ગાળામાં પ્લેન્કના અચળાંક $h$ એ અન્ય સ્થળે દેખા દીધેલી જ હતી. $h, m$ અને $e$ પરમાણુનું સાચું પરિમાણ આપશે એવું ઓળખવામાં (સમજવામાં), બોહરનું મહાન અંતર્દર્શન (Insight) રહેલું છે. $h, m$ અને $ e$ પરથી લંબાઈનાં પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો અને તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય માનનો સાચો ક્રમ ધરાવે છે તેમ ચકાસીને પુષ્ટિ કરો.
પ્રચલિત સિદ્ધાંતો મુજબ, ન્યુક્લિયસની ફરતે ઈલેક્ટ્રૉન કોઈ પણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પછી પરમાણુનું લાક્ષણિક પરિમાણ શાના પરથી નક્કી થાય છે? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક પરિમાણ કરતાં હજાર ગણો મોટો કેમ નથી? આ પુસ્તકમાં તમે શીખ્યા તે પ્રખ્યાત મોડેલ પર પહોંચતાં અગાઉ બોહરને આ પ્રશ્નએ ખૂબ મૂંઝવી દીધો હતો? તેણે શોધ અગાઉ શું કર્યું હશે તેને મૂર્તિમંત (Simulate) કરવા માટે, કુદરતના મૂળભૂત અચળાંકોની મદદથી, આપણે નીચેની રમત કરીએ અને જોઈએ કે આપણને પરમાણુના જાણીતા પરિમાણ $(\sim 10^{-10}\, m)$ ના લગભગ જેટલી લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવતી રાશિ મળે છે કે કેમ?
$(a)$ મૂળભૂત અચળાંકો $e, m$ અને $c$ પરથી લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો. તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધો.
$(b)$ તમે જોશો કે $(a)$ માં મેળવેલી લંબાઈ, પરમાણુના પરિમાણ કરતાં માનના (મૂલ્યના) ઘણાં ક્રમોથી નાની છે. ઉપરાંત તેમાં રહેલ છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઊર્જાઓ મહદ્અંશે બિન-સાપેક્ષવાદીય વિસ્તારોમાં હોય છે જ્યાં $c$ કોઈ મહત્વનો ભાગ ભજવે છે તે અપેક્ષિત નથી. કદાચ આ બાબતે બોહરને એમ સૂચવ્યું હશે કે $c$ ને દૂર કરવો અને પરમાણુનું સાચું પરિમાણ મેળવવા માટે 'કંઈક બીજું' શોધવું. હવે, તે ગાળામાં પ્લેન્કના અચળાંક $h$ એ અન્ય સ્થળે દેખા દીધેલી જ હતી. $h, m$ અને $e$ પરમાણુનું સાચું પરિમાણ આપશે એવું ઓળખવામાં (સમજવામાં), બોહરનું મહાન અંતર્દર્શન (Insight) રહેલું છે. $h, m$ અને $ e$ પરથી લંબાઈનાં પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો અને તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય માનનો સાચો ક્રમ ધરાવે છે તેમ ચકાસીને પુષ્ટિ કરો.
હાઇડ્રોજન $(H)$,ડયુટેરિયમ $(D)$, હિલીયમ $ (H{e^ + }) $ અને લીથીયમ $ (Li) $ માં ઇલેકટ્રોન $n =2$ માંથી $n = 1$ સંક્રાંતિ દરમિયાન $ {\lambda _1},\;{\lambda _2},\;{\lambda _3} $ અને $ {\lambda _4} $ તરંગલંબાઇ વાળા વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે તો...
હાઇડ્રોજન $(H)$,ડયુટેરિયમ $(D)$, હિલીયમ $ (H{e^ + }) $ અને લીથીયમ $ (Li) $ માં ઇલેકટ્રોન $n =2$ માંથી $n = 1$ સંક્રાંતિ દરમિયાન $ {\lambda _1},\;{\lambda _2},\;{\lambda _3} $ અને $ {\lambda _4} $ તરંગલંબાઇ વાળા વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે તો...
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n = 2$ અને $ n = 1$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેકટ્રોનના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n = 2$ અને $ n = 1$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેકટ્રોનના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?