त्रिज्या $R$ वाले घर्षण-रहित र्थिर अवतल पृष्ठ पर $m$ द्रव्यमान वाला एक ब्लॉक सरक (sliding) रहा है। स्थिर अवस्था में ब्लॉक को बिन्दु $P$ से छोड़ा जाता है जो निम्नतम बिन्दु $Q$ से ऊंचाई $H < R$ पर है ।

$(a)$ बिन्दु $Q$ पर स्थितिज ऊर्जा को मानक (reference level) मानते हुए, $\theta$ के फलन के रूप में स्थितिज ऊर्जा क्या होगी? ($1$ अंक)

$(b)$ $\theta$ के फलन के रूप में गतिज ऊर्जा क्या होगी? ($1$ अंक)

$(c)$ $P$ से निम्नतम बिन्दु $Q$ तक पहुंचने के लिए कण को कितना समय लगेगा ? ($2$ अंक )

$(d)$ अवतल पृष्ट के बिन्दु $Q$ पर ब्लॉक कितना बल लगाता है ? ($1$ अंक)

$(a)$ Mass $m$ is at height $H$ from point $Q$, where potential energy is taken zero.

From geometry of above figure, if at some angle $\theta$, height of mass $m$ above lowest point $Q$ is $h$, then from $\triangle A B C$,

$\cos \theta=\frac{R-h}{R} \Rightarrow h=R(1-\cos \theta)$

Hence, potential energy of $m$ as a function of $\theta$ is

$PE =U(\theta)=m g h$

$\Rightarrow U(\theta)=m g R(1-\cos \theta)$

$(b)$ Kinetic energy at position $\theta=$ Loss of potential energy that occurred in reaching this position

$\Rightarrow$ Kinetic energy is $K(\theta)=m g H-U(\theta)$

$\Rightarrow K(\theta) =m g H-m g R(1-\cos \theta)$

$=m g(H-R(1-\cos \theta))$

$(c)$ For $H << R$

$T=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{R}{g}}$

Time taken to travel from $P$ to $Q$ is one-fourth of this time period. i.e.

$t=\frac{1}{8 \pi} \sqrt{\frac{R}{g}}$

$(d)$ From energy conservation at lowest point, if $m$ has velocity $v$, then

$\frac{1}{2} m v^2 =m g H$

$\Rightarrow m v^2 =2 m g H \text { or } \frac{m v^2}{R}=\frac{2 m g H}{R}$

But this centripetal force is resultant of force of normal reaction $N$ and weight of body.

$\Rightarrow N-m g=\frac{m v^2}{R}$

$\Rightarrow N=m g+\frac{2 m g H}{R}$

$\Rightarrow N=m g(1+\frac{2 H}{R})$

This is the force by block on the concave surface.