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एक द्रव्यमान-रहित स्प्रिंग, जिसका द्रढ़ता गुणांक (stiffness constant) $k$ है, के एक छोर पर $M$ द्रव्यमान का एक गुटका जुडा है, तथा दूसरे छोर को द्रढ़ दीवार से जोड़ा गया है। यह गुटका एक समतल घर्षण-रहित सतह पर एक संतुलित स्थिति $x_0$ के गिर्द छोटे आयाम $A$ से दोलन करता है। यहाँ दो परिस्थितियां मानिए : ($i$) जब गुटका $x_0^6$ पर है और ($ii$) जब गुटका $x=x_0+A$ पर है। दोनों परिस्थितियों में द्रव्यमान $m( < M)$ के एक कण को गुटके पर धीरे से इस प्रकार रखा जाता है की वंह तुरंत गुटके से चिपक जाता है। कण को गुटके के ऊपर रखने के बाद गति के बारे में निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ पहली परिस्थिति में दोलन का आयाम $\sqrt{\frac{M}{m+M}}$ भाज्य (factor) से परिवर्तित होता है, जबकि दूसरी परिस्थिति में यह अपरिवर्तित रहता है
$(B)$ दोनों परिस्थितियों में दोलन का अंतिम समयकाल समान है,
$(C)$ दोनों परिस्थितियों में सम्पूर्ण ऊर्जा कम हो जाती है
$(D)$ सम्मिलित द्रव्यमानों की $x_0$ पर तान्क्षणिक गति दोनों परिस्थितियों में कम हो जाती है
$A,B$
$B,D$
$A,B,D$
$A,B,C$
Solution
In case $I$,
From Conservation of momentum,
$MV _1=( M + m ) V _2$
$\frac{ MV _1}{ M + m }= V _2$
$\sqrt{\frac{k}{M+m}} A_2=\frac{M}{M+m} \sqrt{\frac{k}{M}} A_1$
$A_2=\sqrt{\frac{M}{M+m}} A_1$
In case $II$,
$A_2=A_1$
$T =2 \pi \sqrt{\frac{\overline{M+m}}{k}}$ in both the cases.
Total energy decreases in first case where as remain same in $2$ nd case. Instantaneous speed at $x_0$ decreases in both case.
Answer is $A , B$ and $D$ .
