किसी ग्रह जिसका द्रव्यमान $M$ तथा क्रिज्या $R$ है से $2 R$ ऊँचाई पर वृतीय कक्ष में एक उपग्रह जिसका द्रव्यमान $m$ है को प्रमोंचन के लिये छोड़ने के लिये आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा कितनी होगी ?

$m$ द्रव्यमान का एक कण मूलबिंदु के परितः $\frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}$, जहाँ $r$ कण के मूलबिंदु से दूरी है, के विभव में घूमता है। यदि इस निकाय पर बोर सिद्धांत (Bohr model) लागू किया जाए तो कण के $n$-बें कक्षा की त्रिज्या $a=\sqrt{h /(2 \pi m \omega)}$ के मान में क्या होगी ?

सही विकल्प का चयन कीजिए :

$(a)$ बढ़ती तुंगता के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(b)$ बढ़ती गहराई के साथ (पृथ्वी को एकसमान घनत्व को गोला मानकर) गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

$(d)$ पृथ्वी के केन्द्र से $r_{2}$ तथा $r_{1}$ दूरियों के दो बिन्दुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा-अन्तर के लिए सूत्र $-G M m\left(1 / r_{2}-1 / r_{1}\right)$ सूत्र $m g\left(r_{2}-r_{1}\right)$ से अधिक/कम यथार्थ है।

द्रव्यमान $m$ का एक पिण्ड द्रव्यमान $M$ के एक ग्रह के परितः $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। किसी क्षण पिण्ड दो बराबर हिस्सों में टूट जाता है। पहला हिस्सा $\frac{R}{2}$ की वृत्ताकार कक्षा में घूमता है तथाा दूसरा हिस्सा $\frac{3 R}{2}$ की कक्षा में घूमता है। प्रारम्भिक एवं अन्तिम कुल ऊर्जा में अन्तर का मान होगा

नीचे दो कथन दिये गये है।

कथन $I$ : पृथ्वी के परितः घूमते हुए एक उपग्रह की

कुल ऊर्जा यदि $\mathrm{E}$ हो, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा $\frac{\mathrm{E}}{2}$

होगी।

कथन $II$: एक कक्षा में घूमते हुए एक उपग्रह की

गतिज ऊर्जा कुल उर्जा $\mathrm{E}$ के परिमाण के आधे के

बराबर होती है।

उपरोक्त कथनों के संदर्भ में, नीचे दिये गये विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त उत्तर चुनिए।