મુદ્રણની ઘણી ત્રુટિઓ ધરાવતાં એક પુસ્તકમાં આવર્તગતિ કરતાં એક કણના સ્થાનાંતરનાં ચાર જુદાં જુદાં સૂત્રો આપેલ છે :

$(a)\;y=a \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)$

$(b)\;y=a \sin v t$

$(c)\;y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a}$

$(d)\;y=(a \sqrt{2})\left(\sin \frac{2 \pi t}{T}+\cos \frac{2 \pi t}{T}\right)$

( $a =$ કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર, $v =$ કણની ઝડપ, $T =$ આવર્તકાળ ) પરિમાણને આધારે ખોટાં સૂત્રોને નાબૂદ કરો.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

$(a)$ Correct $\quad y=a \sin \frac{2 \pi t}{T}$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $\sin \frac{2 \pi t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$

Dimension of L.H.S $=$ Dimension of R.H.S

Hence, the given formula is dimensionally correct.

$(b)$ Incorrect $y=a \sin v t$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $v t= M ^{0} L ^{1} T ^{-1} \times M ^{0} L ^{0} T ^{1}= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the given formula is dimensionally incorrect.

$(c)$ $\text { Incorrect } \quad y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \left(\frac{t}{a}\right)$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $\frac{a}{T}= M ^{0} L ^{1} T ^{-1}$

Dimension of $\frac{t}{a}= M ^{0} L ^{-1} T ^{1}$

But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the formula is dimensionally incorrect.

$(d)$ Correct $y=(a \sqrt{2})\left(\sin 2 \pi \frac{t}{T}+\cos 2 \pi \frac{t}{T}\right)$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $\frac{t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$

since the argument of the trigonometric function must be dimensionless (which is true in the given case), the dimensions of $y$ and $a$ are the same. Hence, the given formula is dimensionally correct.

Similar Questions

$CGS $ એકમ પઘ્દ્રતિમાં ઘનતાનું મૂલ્ય $ 4\, g\, cm^{-3}$  છે. $100\, g$ અને $10\,cm$ ને મૂળભૂત એકમ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે, તો ઘનતાનું મૂલ્ય કેટલું થશે?

  • [AIPMT 2011]

બળને $F = a\, sin\, ct + b\, cos\, dx$ સમીકરણ મુજબ આપવામાં આવે છે, જ્યાં $t$ સમય અને $x$ અંતર છે તો $a/b$ નું પારિમાણિક સૂત્ર કેટલું થાય?

પરિમાણરહિત રાશી $P$ ને સમીકરણ $P =\frac{\alpha}{\beta} \log _{ e }\left(\frac{ kt }{\beta x}\right)$ થી આપવામાં આવે છે; જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ અચળાંકો, $x$ એ અંતર; $k$ એ બોલ્ટઝમાન અચળાંક અને $t$ એ તાપમાન છે, $\alpha$ નું પરિમાણ ............. થશે.

  • [JEE MAIN 2022]

કોઇ પદ્ધતિમાં પ્રકાશનો વેગ $(c)$, ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$ અને પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ ને મૂળભૂત એકમો તરીકે લીધેલા છે. તો આ નવી પદ્ધતિ મુજબ સમયનું પરિમાણિક સૂત્ર શુ થાય?

  • [AIIMS 2008]

બે પરમાણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયાના બળને

$F=\alpha \beta \,\exp \,\left( { - \frac{{{x^2}}}{{\alpha kt}}} \right);$

વડે આપવામાં આવે છે, જ્યાં $x$ એ અંતર, $k$ બોલ્ટઝમેન અચળાંક અને $ T$ તાપમાન છે. તથા $\alpha$ અને $\beta$ એ અન્ય અચળાંકો છે. $\beta$ નું પરિમાણિક શું થાય?

  • [JEE MAIN 2019]