મુદ્રણની ઘણી ત્રુટિઓ ધરાવતાં એક પુસ્તકમાં આવર્તગતિ કરતાં એક કણના સ્થાનાંતરનાં ચાર જુદાં જુદાં સૂત્રો આપેલ છે :

$(a)\;y=a \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)$

$(b)\;y=a \sin v t$

$(c)\;y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a}$

$(d)\;y=(a \sqrt{2})\left(\sin \frac{2 \pi t}{T}+\cos \frac{2 \pi t}{T}\right)$

( $a =$ કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર, $v =$ કણની ઝડપ, $T =$ આવર્તકાળ ) પરિમાણને આધારે ખોટાં સૂત્રોને નાબૂદ કરો.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

$(a)$ Correct $\quad y=a \sin \frac{2 \pi t}{T}$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $\sin \frac{2 \pi t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$

Dimension of L.H.S $=$ Dimension of R.H.S

Hence, the given formula is dimensionally correct.

$(b)$ Incorrect $y=a \sin v t$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $v t= M ^{0} L ^{1} T ^{-1} \times M ^{0} L ^{0} T ^{1}= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the given formula is dimensionally incorrect.

$(c)$ $\text { Incorrect } \quad y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \left(\frac{t}{a}\right)$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $\frac{a}{T}= M ^{0} L ^{1} T ^{-1}$

Dimension of $\frac{t}{a}= M ^{0} L ^{-1} T ^{1}$

But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the formula is dimensionally incorrect.

$(d)$ Correct $y=(a \sqrt{2})\left(\sin 2 \pi \frac{t}{T}+\cos 2 \pi \frac{t}{T}\right)$

Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$

Dimension of $\frac{t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$

since the argument of the trigonometric function must be dimensionless (which is true in the given case), the dimensions of $y$ and $a$ are the same. Hence, the given formula is dimensionally correct.

Similar Questions

ઊર્જા $U = \frac{{A\sqrt x }}{{{x^2} + B}},\,$ હોય,તો $AB$ નું પારિમાણીક સૂત્ર

ન્યુટનના મત અનુસાર, $A$ ક્ષેત્રફળવાળા અને $\Delta v/\Delta z$ જેટલું વેગ-પ્રચલન ધરાવતાં પ્રવાહીના બે સ્તરો વચ્ચે લાગતું શ્યાનતા બળ $F = - \eta A\frac{{\Delta v}}{{\Delta z}}$ છે, જ્યાં $\eta $ શ્યાનતા ગુણાંક છે. $\eta$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શું થાય?

  • [AIPMT 1990]

બે ભૌતિક રાશિઓ $A$ અને $B$ એકબીજ સાથે $\mathrm{E}=\frac{\mathrm{B}-\mathrm{X}^2}{\mathrm{at}}$ સંબંધ ધરાવે છે. જ્યાં, $\mathrm{E}, \mathrm{X}$ અને $\mathrm{t}$અનુક્રમે ઉર્જા, લંબાઈ અને સમયના પરિમાણો ધરાવે છે તો $\mathrm{AB}$ ના પરિમાણ..........

  • [JEE MAIN 2024]

જો ઉર્જા $(E)$, વેગ $(V)$ અને સમય $(T)$ ને મૂળભૂત રાશિઓ તરીકે લેવામાં આવે, તો પૃષ્ઠતાણનું પારિમાણિક સૂત્ર શું થશે?

  • [AIEEE 2012]

જો ગ્રહના કક્ષીય વેગને $v = {G^a}{M^b}{R^c}$, વડે દર્શાવવામાં આવે તો .....