મુદ્રણની ઘણી ત્રુટિઓ ધરાવતાં એક પુસ્તકમાં આવર્તગતિ કરતાં એક કણના સ્થાનાંતરનાં ચાર જુદાં જુદાં સૂત્રો આપેલ છે :
$(a)\;y=a \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)$
$(b)\;y=a \sin v t$
$(c)\;y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a}$
$(d)\;y=(a \sqrt{2})\left(\sin \frac{2 \pi t}{T}+\cos \frac{2 \pi t}{T}\right)$
( $a =$ કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર, $v =$ કણની ઝડપ, $T =$ આવર્તકાળ ) પરિમાણને આધારે ખોટાં સૂત્રોને નાબૂદ કરો.
$(a)$ Correct $\quad y=a \sin \frac{2 \pi t}{T}$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\sin \frac{2 \pi t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$
Dimension of L.H.S $=$ Dimension of R.H.S
Hence, the given formula is dimensionally correct.
$(b)$ Incorrect $y=a \sin v t$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $v t= M ^{0} L ^{1} T ^{-1} \times M ^{0} L ^{0} T ^{1}= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the given formula is dimensionally incorrect.
$(c)$ $\text { Incorrect } \quad y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \left(\frac{t}{a}\right)$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\frac{a}{T}= M ^{0} L ^{1} T ^{-1}$
Dimension of $\frac{t}{a}= M ^{0} L ^{-1} T ^{1}$
But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the formula is dimensionally incorrect.
$(d)$ Correct $y=(a \sqrt{2})\left(\sin 2 \pi \frac{t}{T}+\cos 2 \pi \frac{t}{T}\right)$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\frac{t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$
since the argument of the trigonometric function must be dimensionless (which is true in the given case), the dimensions of $y$ and $a$ are the same. Hence, the given formula is dimensionally correct.
બળને $F = a\, sin\, ct + b\, cos\, dx$ સમીકરણ મુજબ આપવામાં આવે છે, જ્યાં $t$ સમય અને $x$ અંતર છે તો $a/b$ નું પારિમાણિક સૂત્ર કેટલું થાય?
કોઇ પદ્ધતિમાં પ્રકાશનો વેગ $(c)$, ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$ અને પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ ને મૂળભૂત એકમો તરીકે લીધેલા છે. તો આ નવી પદ્ધતિ મુજબ સમયનું પરિમાણિક સૂત્ર શુ થાય?
બે પરમાણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયાના બળને
$F=\alpha \beta \,\exp \,\left( { - \frac{{{x^2}}}{{\alpha kt}}} \right);$
વડે આપવામાં આવે છે, જ્યાં $x$ એ અંતર, $k$ બોલ્ટઝમેન અચળાંક અને $ T$ તાપમાન છે. તથા $\alpha$ અને $\beta$ એ અન્ય અચળાંકો છે. $\beta$ નું પરિમાણિક શું થાય?