किसी पुस्तक में, जिसमें छपाई की अनेक त्रुटीयां हैं, आवर्त गति कर रहे किसी कण के विस्थापन के चार भिन्न सूत्र दिए गए हैं
$(a)\;y=a \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)$
$(b)\;y=a \sin v t$
$(c)\;y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a}$
$(d)\;y=(a \sqrt{2})\left(\sin \frac{2 \pi t}{T}+\cos \frac{2 \pi t}{T}\right)$
$(a=$ कण का अधिकतम विस्थापन, $v=$ कण की चाल, $T=$ गति का आवर्त काल ) । विमीय आधारों पर गलत सूत्रों को निकाल दीजिए |
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$(c)\;y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a}$
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$(a=$ कण का अधिकतम विस्थापन, $v=$ कण की चाल, $T=$ गति का आवर्त काल ) । विमीय आधारों पर गलत सूत्रों को निकाल दीजिए |
$(a)$ Correct $\quad y=a \sin \frac{2 \pi t}{T}$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\sin \frac{2 \pi t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$
Dimension of L.H.S $=$ Dimension of R.H.S
Hence, the given formula is dimensionally correct.
$(b)$ Incorrect $y=a \sin v t$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $v t= M ^{0} L ^{1} T ^{-1} \times M ^{0} L ^{0} T ^{1}= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the given formula is dimensionally incorrect.
$(c)$ $\text { Incorrect } \quad y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \left(\frac{t}{a}\right)$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\frac{a}{T}= M ^{0} L ^{1} T ^{-1}$
Dimension of $\frac{t}{a}= M ^{0} L ^{-1} T ^{1}$
But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the formula is dimensionally incorrect.
$(d)$ Correct $y=(a \sqrt{2})\left(\sin 2 \pi \frac{t}{T}+\cos 2 \pi \frac{t}{T}\right)$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\frac{t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$
since the argument of the trigonometric function must be dimensionless (which is true in the given case), the dimensions of $y$ and $a$ are the same. Hence, the given formula is dimensionally correct.
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नीचे दो कथन दिए गए हैं : इनमें से एक 'अभिकथन (A)' द्वारा एवं दूसरा 'कारण (R)' द्वारा निरूपित है।
अभिकथन $(A)$ : किसी द्रव की बूँद के दोलन का आवर्तकाल, पृष्ठ तनाव $( S )$ पर निर्भर करता है। यदि द्रव का घनत्व $\rho$ एवं बूँद की त्रिज्या $r$ तो $T$ $= k \sqrt{ pr ^3 / s }$ विमाओं के अनुसार सही है। जहाँ $K$ विमाविहीन है।
कारण $(R)$ : विमीय विश्लेषण करने पर, हमें $R.H.S.$ (दाहिनी हाथ की तरफ) पर, समय की विमा से अलग विमा प्राप्त होती है।
उपरोक्त कथनों के आधार पर, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें
नीचे दो कथन दिए गए हैं : इनमें से एक 'अभिकथन (A)' द्वारा एवं दूसरा 'कारण (R)' द्वारा निरूपित है।
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