किसी पुस्तक में, जिसमें छपाई की अनेक त्रुटीयां हैं, आवर्त गति कर रहे किसी कण के विस्थापन के चार भिन्न सूत्र दिए गए हैं
$(a)\;y=a \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)$
$(b)\;y=a \sin v t$
$(c)\;y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a}$
$(d)\;y=(a \sqrt{2})\left(\sin \frac{2 \pi t}{T}+\cos \frac{2 \pi t}{T}\right)$
$(a=$ कण का अधिकतम विस्थापन, $v=$ कण की चाल, $T=$ गति का आवर्त काल ) । विमीय आधारों पर गलत सूत्रों को निकाल दीजिए |
$(a)$ Correct $\quad y=a \sin \frac{2 \pi t}{T}$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\sin \frac{2 \pi t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$
Dimension of L.H.S $=$ Dimension of R.H.S
Hence, the given formula is dimensionally correct.
$(b)$ Incorrect $y=a \sin v t$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $v t= M ^{0} L ^{1} T ^{-1} \times M ^{0} L ^{0} T ^{1}= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the given formula is dimensionally incorrect.
$(c)$ $\text { Incorrect } \quad y=\left(\frac{a}{T}\right) \sin \left(\frac{t}{a}\right)$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\frac{a}{T}= M ^{0} L ^{1} T ^{-1}$
Dimension of $\frac{t}{a}= M ^{0} L ^{-1} T ^{1}$
But the argument of the trigonometric function must be dimensionless, which is not so in the given case. Hence, the formula is dimensionally incorrect.
$(d)$ Correct $y=(a \sqrt{2})\left(\sin 2 \pi \frac{t}{T}+\cos 2 \pi \frac{t}{T}\right)$
Dimension of $y= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $a= M ^{0} L ^{1} T ^{0}$
Dimension of $\frac{t}{T}= M ^{0} L ^{0} T ^{0}$
since the argument of the trigonometric function must be dimensionless (which is true in the given case), the dimensions of $y$ and $a$ are the same. Hence, the given formula is dimensionally correct.
मात्रकों की किसी पद्धति में यदि बल $(F)$, त्वरण $(a)$ एवं समय $(T) $ को मूल मात्रक माना जाये तो ऊर्जा का विमीय-सूत्र होगा
गैसों का अवस्था समीकरण निम्नलिखित रुप में व्यक्त होता है $\left( {P + \frac{a}{{{V^2}}}} \right)(V - b) = RT,$ यहाँ $P$ दाब, $V$ आयतन, $T$ परम ताप तथा $a,\,b$ एवं $R$ नियतांक है। $a$ की विमायें होगी
ऊर्जा घनत्व का व्यंजक निम्नवत है $u =\frac{\alpha}{\beta} \sin \left(\frac{\alpha x }{ kt }\right)$, जहाँ $\alpha$ एवं $\beta$ स्थिरांक हैं, $x$ विस्थापन है, $k$ वोल्टजमैन स्थिरांक है एवं $t$ तापमान है। $\beta$ की विमाऐं होंगी :
किसी ग्रह के लिये कक्षीय वेग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है $v = {G^a}{M^b}{R^c}$, तब
एक ट्यूब की लम्बाई $\ell$ तथा त्रिज्या $r$ है। इसमें टॉरपीन का तेल बहता है। ट्यूब के दोनों सिरों का दाबान्तर $p$ है तथा श्यानता गुणांक है
$\eta=\frac{p\left(r^{2}-x^{2}\right)}{4 v l}$
जहाँ ट्यूब के अक्ष से $x$ दूरी पर तेल का वेग $v$ है। $\eta$ की विमायें हैं