$5$ કુમાર અને $4$ કુમારીમાંથી $3$ કુમાર અને $3$ કુમારીઓની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય?

$'EAMCET'$ શબ્દના બધા અક્ષરો શક્ય તેટલી રીતે ગોઠવી શકાય છે. બે સ્વર એકબીજાની પાસે-પાસે ન આવે તેમ કેટલી રીતે ગોઠવણી શક્ય છે ?

જો ગણ $A = \left\{ {{a_1},\,{a_2},\,{a_3}…..} \right\}$ માં $n$ ઘટકો છે તેમાંથી બે ઉપગણો $P$ અને $Q$ સ્વત્રંતરીતે બને છે તો એવી કેટલી રીતે ઉપગણો બને કે જેથી $(P-Q)$ ને બરાબર $2$ ઘટકો ધરાવે ? 

ધારોકે ગણ $A$ અને $B$ ના ધટકોની સંખ્યા અનુક્રમે પાંચ અને બે છે.તો આછામાં ઓછા $3$ અને વધુમાં વધુ $6$ ધટકો ધરાવતા $A \times B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $………$ છે.

ફક્ત અંકો $1, 2,3$ અને $4$ નો ઉપયોગ કરતા બનાવેલ, જેના અંકોનો સરવાળો $12$ થાય તેવા સાત અંકી ધન પૂર્ણાકોની સંખ્યા $……..$ છે.