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10-1.Circle and System of Circles
hard
एक वृत्त मूलबिन्दु से जाता है एवं इसका केन्द्र $y = x$ पर है। यदि यह ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 10 = 0$ को लम्बवत् काटता है, तो वृत्त का समीकरण होगा
A
${x^2} + {y^2} - x - y = 0$
B
${x^2} + {y^2} - 6x - 4y = 0$
C
${x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0$
D
${x^2} + {y^2} + 2x + 2y = 0$
Solution
(c) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण है,
${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$….$(i)$
यह $(0, 0)$ से जाता है। अत: $c = 0$
$(i)$ का केन्द्र $( – g,\; – f)$ रेखा $y = x$ पर स्थित है।
अत: $g = f$।
चूँकि $(i)$ वृत्त ${x^2} + {y^2} – 4x – 6y + 10 = 0$ को लम्बवत् काटता है।
अत: $2( – 2g – 3f) = c + 10$
$ \Rightarrow – 10g = 10$, तथा $c = 0)$
$ \Rightarrow g = f = – 1$,
अत: अभीष्ट वृत्त ${x^2} + {y^2} – 2x – 2y = 0$ होगा।
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