वृत्त {x^2} + {y^2} + 16x - 24y + 183 = 0 का | vedclass

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Question

(d) अभीष्ट वृत्त का केन्द्र, बिन्दु $( - 8,\;12)$ का दर्पण रेखा $4x + 7y + 13 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिम्ब होगा एवं त्रिज्या दिये गये वृत्त की त्रिज्या

Vedclass · Accepted Answer

${x^2} + {y^2} + 32x + 4y + 235 = 0$

Vedclass · Answer

(d) अभीष्ट वृत्त का केन्द्र, बिन्दु $( - 8,\;12)$ का दर्पण रेखा $4x + 7y + 13 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिम्ब होगा एवं त्रिज्या दिये गये वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी। माना बिन्दु $( - 8,\;12)$ का प्रतिबिम्ब $(h, k)$ है, तो बिन्दु $C( - 8,\;12)$ व $P(h,\;k)$ को जोड़ने वाली रेखा का मध्य बिन्दु दर्पण रेखा पर स्थित होगा।
$	herefore \;4\left( {\frac{{h - 8}}{2}} ight) + 7\left( {\frac{{k + 12}}{2}} ight) + 13 = 0$
या $4h + 7k + 78 = 0$ &hellip;.(i)
एवं $CP$, $4x + 7y + 13 = 0$ पर लम्ब है
$	herefore $ $\frac{{k - 12}}{{h + 8}} 	imes - \frac{4}{7} = - 1$ या $7h - 4k + 104 = 0$&hellip;.(ii)
(i) व (ii) को हल करने पर, $h = - 16,\;k = - 2$
अत: प्रतिबिम्ब वृत्त का केन्द्र $( - 16,\; - 2)$ होगा तथा इसकी त्रिज्या, वृत्त ${x^2} + {y^2} + 16x - 24y + 183 = 0$ की त्रिज्या के बराबर अर्थात् $5$ होगी।
अत: अभीष्ट वृत्त का समीकरण ${(x + 16)^2} + {(y + 2)^2} = {5^2}$ अर्थात् ${x^2} + {y^2} + 32x + 4y + 235 = 0$ होगा।

वृत्त ${x^2} + {y^2} + 16x - 24y + 183 = 0$ का दर्पण रेखा $4x + 7y + 13 = 0$ से प्रतिबिम्ब है

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