$(0.4 \pm 0.01) \mathrm{g}$ द्रव्यमान के एक बेलनाकार तार की लम्बाई $(8 \pm 0.04) \mathrm{cm}$ एवं त्रिज्या $(6 \pm 0.03) \mathrm{mm}$ है। इसके घनत्व में अधिकतम त्रुटि $........\%$ होगी:

एक वस्तु प्रारम्भ में विराम अवस्था में है। एक विद्यार्थी इस वस्तु के मुक्त-पतन में, किसी दिये गये समय में तय की गई दूरी नापता है, और इसका उपयोग गुरूत्वीय त्वरण $'g'$ का मान ज्ञात करने में करता है। यदि दूरी तथा समय की मापों में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि क्रमश: $e_{1}$ और $e_{2}$ हो तो, $g$ का मान ज्ञात करने में प्रतिशत त्रुटि होगी

मापन की शुद्धता निर्धारित होती है

यदि किसी गोले के त्रिज्या मापन में $2\, \%$ की त्रुटि हुई हो, तो गोले के आयतन के परिकलन में त्रुटि........$\%$ होगी

यदि सभी स्वतंत्र राशियों (independent quantities) की मापन त्रुटियाँ (measurement errors) ज्ञात हो, तो किसी निर्भर राशि (dependent quantity) की त्रुटि का परिकलन (calculation) किया जा सकता है। इस परिकलन में श्रेणी प्रसार (series expansion) का प्रयोग किया जाता है और इस प्रसार को त्रुटि (error) के पहले घात (first power) पर रून्डित (truncate) किया जाता है। उदाहरण स्वरूप, सम्बन्ध $z=x / y$ में यदि $x, y$ और $z$ की त्रुटियाँ क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हों, तो

$z \pm \Delta z=\frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y}=\frac{x}{y}\left(1 \pm \frac{\Delta x}{x}\right)\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1} .$

$\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1}$ का श्रेणी प्रसार, $\Delta y / y$ में पहले घात तक, $1 \mp(\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र राशियों की आपेक्षिक त्रुटियाँ (relative errors) सदैव जोड़ी जाती हैं। इसलिए $z$ की त्रुटि होगी

$\Delta z=z\left(\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}\right) .$

उपरोक्त परिकलन में $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$ माने गये हैं। इसलिए इन राशियों की उच्चतर घातें (higher powers) उपेक्षित हैं।

($1$) एक विमा-रहित (dimensionless) राशि $a$ को माप कर, एक अनुपात (ratio) $r=\frac{(1-a)}{(1+a)}$ का परिकलन करना है। यदि $a$ की मापन की त्रुटि $\Delta a$ है $(\Delta a / a \ll 1)$, तो $r$ के परिकलन की त्रुटि $\Delta r$ क्या होगी ?

$(A)$ $\frac{\Delta \mathrm{a}}{(1+\mathrm{a})^2}$ $(B)$ $\frac{2 \Delta \mathrm{a}}{(1+\mathrm{a})^2}$ $(C)$ $\frac{2 \Delta \mathrm{a}}{\left(1-\mathrm{a}^2\right)}$ $(D)$ $\frac{2 \mathrm{a} \Delta \mathrm{a}}{\left(1-\mathrm{a}^2\right)}$

($2$) एक प्रयोग के आरंभ में रेडियोएक्टिव नाभिकों की संख्या $3000$ है। प्रयोग के पहले $1.0$ सेकंड में $1000 \pm 40$ नाभिकों का क्षय हो जाता है $\mid$ यदि $|x| \ll 1$ हो, तो $x$ के पहले घात तक $\ln (1+x)=x$ है। क्षयांक (decay constant) $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda, s^{-1}$ में, है

$(A) 0.04$    $(B) 0.03$    $(C) 0.02$   $(D) 0.01$

इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$

एक सरल लोलक की लम्बाई का मान $2 \mathrm{~mm}$ शुद्धता के साथ $20 \mathrm{~cm}$ मापा जाता है। $50$ दोलनों के लिए $1$ सेंकड शुद्धता के साथ मापा समय $40$ सेंकड है। इस माप से गुरूत्वीय त्वरण के मापन की शुद्धता $\mathrm{N} \%$ है। $\mathrm{N}$ का मान है :