कोई लडाकू जहाज $1.5\, km$ की ऊंचाई पर $720\, km / h$ की चाल से क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है और किसी वायुयान भेदी तोप के ठीक ऊपर से गुजरता है । ऊध्वाधर से तोप की नाल का क्या कोण हो जिससे $600\, m\, s ^{-1}$ की चाल से दागा गया गोला वायुमान पर वार कर सके । वायुयान के चालक को किस न्यूनतम ऊंचाई पर जहाज को उड़ाना चाहिए जिससे गोला लगने से बच सके। $\left(g=10 m s ^{-2}\right)$
Height of the fighter plane $=1.5 \,km =1500 \,m$
Speed of the fighter plane, $v=720 \,km / h =200 \,m / s$
Let $\theta$ be the angle with the vertical so that the shell hits the plane. The situation is shown in the given figure.
Muzzle velocity of the gun, $u=600 \,m / s$ Time taken by the shell to hit the plane $=t$ Horizontal distance travelled by the shell $=u_{x} t$ Distance travelled by the plane $=v t$ The shell hits the plane. Hence, these two distances must be equal.
$u_{ x } t=v t$
$u \sin \theta=v$
$\sin \theta=\frac{v}{u}$
$=\frac{200}{600}=\frac{1}{3}=0.33$
$\theta=\sin ^{-1}(0.33)$
$=19.5^o$
In order to avoid being hit by the shell, the pilot must fly the plane at an altitude $(H)$ higher than the maximum height achieved by the shell.
$\therefore H=\frac{u^{2} \sin ^{2}(90-\theta)}{2 g }$
$=\frac{(600)^{2} \cos ^{2} \theta}{2 g }$
$=\frac{360000 \times \cos ^{2} 19.5}{2 \times 10}$
$=18000 \times(0.943)^{2}$
$=16006.482 \,m$
$\approx 16\; km$
रेलगाड़ी की खिड़की से एक पत्थर छोड़ा जाता है। यदि रेलगाड़ी क्षैतिज सीधी पटरियों पर जा रही है, तो पत्थर का पथ जमीन पर टकराते समय होगा
$x - y$ तल ( $x$ क्षैतिज है एवं $y$ ऊपर की ओर उर्ध्व है) में मूल बिंदु से एक प्रक्षेप को $x$-अक्ष से $\alpha$ कोण बनाते हुए प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मूल बिंदु से प्रक्षेपक की दूरी, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, को $x$ के सापेक्ष अवलेखन किया जाए, तो $\alpha_1$ एवं $\alpha_2$ प्रक्षेपण कोणों के लिए $r ( x )$ दो अलग-अलग वक्र देता है (सलग्न चित्र देखिए) $\mid \alpha_1$ कोण के लिए $r ( x ), x$ के साथ क्रमशः बढ़ता रहता है। जबकि $\alpha_2$ कोण के लिए $r ( x )$ पहले बढ़ते हुए उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है, फिर कम होने लगता है और एक न्यूनतम बिंदु पर पहुँचने के उपरान्त फिर से बढ़ने लगता है। इन दोनों व्यवहारों के बीच संक्रमण (switch) एक खास कोण $\alpha_{ c }\left(\alpha_1 < \alpha_{ c } < \alpha_2\right)$ पर होता है $\mid \alpha_{ c }$ का मान क्या है ? [वायु कर्षण को नगण्य मान लीजिए $\mid y(x)=x \tan \alpha-\frac{1}{2} \frac{\sec ^2 a}{v_0^2} x^2$, जहाँ $v_0$ प्रक्षेप की प्रारंभिक चाल है तथा $g$ गुरुत्वीय त्वरण है
एक लड़के द्वारा फेंकी गई गेंद उसी तल में कुछ दूरी पर खड़े अन्य लड़के द्वारा $2$ सैकण्ड में पकड़ ली जाती है। यदि प्रक्षेपण कोण $30^o$ है, तब प्रक्षेपण वेग ......... $m/s$ होगा
एक लडका एक पत्थर को अधिकतम $10$ मी की ऊँचाई तक फेंक सकता है। लड़का उसी पत्थर को जिस अधिकतम क्षैतिंज दूरी तक फेंक सकेगा, वह है ....... मी.
क्षैतिज से $30^{\circ}$ एवं $60^{\circ}$ के कोणों पर दो प्रक्षेप्य समान चालों से प्रक्षेपित किए जाते हैं। क्रमशः प्रक्षेप्यों द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाइयों का अनुपात है: