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एक खुरदुरे क्षैतिज फर्श पर एक भारी बक्से को खींचा जाता है। ऐसा करने के लिये, व्यक्ति $A$ को क्षैतिज से $30^{\circ}$ कोण पर धक्का लगाना पड़ता है और न्यूनतम बल $F _{ A }$ की आवश्यकता होती हैं जब कि व्यक्ति $B$ को क्षैतिज से $60^{\circ}$ कोण पर खींचना होता है और न्यूनतम बल $F _{ B }$ की आवश्यकता होती हैं। यदि फर्श एवं बक्से के बीच घर्षण गुणाँक $\frac{\sqrt{3}}{5}$ हैं, तब अनुपात $\frac{ F _{ A }}{ F _{ B }}$ हैं :
$\sqrt 3 $
$\frac{5}{{\sqrt 3 }}$
$\sqrt {\frac{3}{2}} $
$\frac{2}{{\sqrt 3 }}$
Solution
$\begin{array}{l}
{F_A} = \frac{{\mu mg}}{{\sin \theta – \mu \cos \theta }}\\
similarly,\\
{F_B} = \frac{{\mu mg}}{{\sin \theta + \mu \cos \theta }}\\
\,\therefore \,\frac{{{F_A}}}{{{F_B}}} = \frac{{\frac{{\mu mg}}{{\sin \theta – \mu \cos \theta }}}}{{\frac{{\mu mg}}{{\sin \theta + \mu \cos \theta }}}}\,\,\,\,\,\\
\, = \frac{{\sin {{60}^ \circ } – \frac{\begin{array}{l}
\mu mg\\
\sqrt 3
\end{array}}{5}\cos \,{{60}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ } + \frac{\begin{array}{l}
\mu mg\\
\sqrt 3
\end{array}}{5}\cos \,{{30}^ \circ }}}\,\,
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\,\,\left[ {\mu = \frac{{\sqrt 3 }}{5}\,given} \right]\,\\
= \frac{{\sin \,{{30}^{ \circ \,}} + \frac{{\sqrt 3 }}{5} – \cos \,{{30}^ \circ }}}{{\sin \,{{60}^ \circ } – \frac{{\sqrt 3 }}{5}\cos \,{{60}^ \circ }}}\\
= \frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{5} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{5} \times \frac{1}{2}}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
= \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{3}{5}} \right)}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{5}\left( {1 – \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{2} \times \frac{8}{5}}}{{\frac{{\sqrt 3 \times 4}}{{10}}}}\\
= \frac{{\frac{8}{{10}}}}{{\frac{{\sqrt 3 \times 4}}{{10}}}} = \frac{8}{{\sqrt 3 \times 4}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}
\end{array}$
