मृदु इस्पात के एक तार, जिसकी लंबाई $1.0 \,m$ तथा अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल $0.50 \times 10^{-2} cm ^{2}$ है, को दो खम्बों के बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा के अंदर ही तनित किया जाता है। तार के मध्य बिंदु से $100\, g$ का एक द्रव्यमान लटका दिया जाता है। मध्य बिंदु पर अवनमन की गणना कीजिए।
मृदु इस्पात के एक तार, जिसकी लंबाई $1.0 \,m$ तथा अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल $0.50 \times 10^{-2} cm ^{2}$ है, को दो खम्बों के बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा के अंदर ही तनित किया जाता है। तार के मध्य बिंदु से $100\, g$ का एक द्रव्यमान लटका दिया जाता है। मध्य बिंदु पर अवनमन की गणना कीजिए।
Length of the steel wire $=1.0 m$
Area of cross-section, $A=0.50 \times 10^{-2} cm ^{2}-0.50 \times 10^{-6} m ^{2}$
A mass $100 g$ is suspended from its midpoint.
$m=100 g =0.1 kg$
Hence, the wire dips, as shown in the given figure.
Original length $= XZ$
Depression $=l$
The length after mass $m$, is attached to the wire $= XO + OZ$
Increase in the length of the wire:
$\Delta l=( XO + OZ )- XZ$
$XO = OZ =\left[(0.5)^{2}+l^{2}\right]^{\frac{1}{2}}$
$\therefore \Delta l=2\left[(0.5)^{2}+(l)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-1.0$
$=2 \times 0.5\left[1+\left(\frac{l}{0.5}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-1.0$
Expanding and neglecting higher terms, we get:
$\Delta l=\frac{l^{2}}{0.5}$
Strain $=\frac{\text { Increase in length }}{\text { Original length }}$
Let $T$ be the tension in the wire.
$\therefore m g=2 T \cos \theta$
Using the figure, it can be written as
$\cos \theta=\frac{1}{\left((0.5)^{2}+l^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$
$=\frac{1}{(0.5)\left(1+\left(\frac{l}{0.5}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$
Expanding the expression and eliminating the higher terms
$\cos \theta=\frac{1}{(0.5)\left(1+\frac{l^{2}}{2(0.5)^{2}}\right)}$
$\left(1+\frac{l^{2}}{0.5}\right)=1$ for small $l$
$\therefore \cos \theta=\frac{l}{0.5}$
$\therefore T=\frac{m g}{2\left(\frac{l}{0.5}\right)}=\frac{m g \times 0.5}{2 l}=\frac{m g}{4 l}$
Stress $=\frac{\text { Tension }}{\text { Area }}=\frac{m g}{4 l \times A}$
Young's modulus $=\frac{\text { Stress }}{\text { Strain }}$
$Y=\frac{m g \times 0.5}{4 l \times A \times l^{2}}$
$I=\sqrt[3]{\frac{m g \times 0.5}{4 Y A}}$
Young's modulus of steel, $Y=2 \times 10^{11} Pa$
$\therefore l=\sqrt{\frac{0.1 \times 9.8 \times 0.5}{4 \times 2 \times 10^{11} \times 0.50 \times 10^{-6}}}$
$=0.0106 m$
Hence, the depression at the midpoint is $0.0106 m$
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$25^{\circ} C$ पर स्टील की बनी एक क्षैतिज रेल लाइन की लंबाई $100 \,m$ है। इस रेल लाइन को इस प्रकार जकड़ के रखा गया है कि उसका ना तो प्रसार हो सकता है और ना ही मुड़ सकता है। गर्मी के एक दिन जब तापमान $40^{\circ} C$ पहुँच जाता है, तब रेल लाइन में जनित प्रतिबल का मान ............. $\times 10^7 \,Pa$ होगा? (स्टील का रेखीय ऊष्मीय प्रसार गुणांक $1.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$ तथा यंग प्रत्यास्थता $2 \times 10^{11} Pa$ है।)
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- [KVPY 2015]
$2$ मी लम्बे और $10$ ${^{-2}}$ सेमी$^2$ अनुप्रस्थ क्षेत्रफल के तार के एक सिरे पर $200$ न्यूटन का बल अरोपित किया गया है। तार का दूसरा सिरा दृढ़ आधार से कसा हुआ है। तार के पदार्थ का $\alpha= 8 \times 10{^{-6}}°C^{-1}$ एवं $Y = 2.2 \times 10$ ${^{11}} N/m^{ 2}$ है। यदि तार के ताप में $5°C$ की वृद्धि की जाती है तो तार के तनाव में वृद्धि ........ $N$ है
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एक रैखिक बल $F$ लगाने पर किसी धातु के एकसमान तार में $0.04 \,m$ की वद्धि हो जाती है। यदि तार की लम्बाई और व्यास दो गुने कर दिए जाएं तो समान बल लगाने पर लम्बाई में वद्धि $.....\,cm$ होगी।
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- [JEE MAIN 2021]
स्टील की एक पतली एवं लम्बी छड़ के दोनों सिरों पर एक संपीडन बल $F$ लगाया जाता है तथा साथ ही छड़ को गर्म करके उसका तापमान $\Delta T$ बढ़ाया जाता है। इससे छड़ की लम्बाई में कुल परिवर्तन शून्य है। माना कि छड़ की लम्बाई $l$, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$, यंग प्रत्यास्थता गुणांक $Y$ व रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है तो $F$ का मान होगा
स्टील की एक पतली एवं लम्बी छड़ के दोनों सिरों पर एक संपीडन बल $F$ लगाया जाता है तथा साथ ही छड़ को गर्म करके उसका तापमान $\Delta T$ बढ़ाया जाता है। इससे छड़ की लम्बाई में कुल परिवर्तन शून्य है। माना कि छड़ की लम्बाई $l$, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$, यंग प्रत्यास्थता गुणांक $Y$ व रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है तो $F$ का मान होगा
- [JEE MAIN 2017]
पूर्ण दृढ़ वस्तु के पदार्थ का यंग मापांक होता है
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