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एक $C$ धारिता वाले समान्तर प्लेट संधारित्र के प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है और प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल $A$ है। प्लेटों के बीच, पूरे स्थान को प्लेटों के समान्तर, $\delta=\frac{ d }{ N }$ मोटाई वाली $N$ पराविधुत परतों से भर देते है। $m ^{\text {h }}$ परत का पराविधुतांक $K _{ m }= K \left(1+\frac{ m }{ N }\right)$ है। बहुत अधिक $N \left(>10^3\right)$ के लिए धारिता $C =\alpha\left(\frac{ K \varepsilon_0 A }{ d \;ln 2}\right)$ है। $\alpha$ का मान. . . . .होगा। [मुक्त आकाश (free space) की विधुतशीलता $\epsilon_0$ है]
$1$
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$6$
Solution
$\delta=d x=\frac{d}{N} \& \frac{m}{N}=\frac{x}{d}$
$K_m=K\left(1+\frac{m}{N}\right)$
$\Rightarrow K_m=K\left(1+\frac{x}{d}\right)$
$C^{\prime}=\frac{K_m A \epsilon_0}{d x}$
$\frac{1}{C_{e q}}=\int_0^d \frac{d x}{K_m A \epsilon_0}=\frac{1}{K A \epsilon_0} \int_0^d \frac{d x}{\left(1+\frac{x}{d}\right)}$
$\Rightarrow \frac{1}{C_{e q}}=\frac{d}{K A \epsilon_0}\left[\ln \left(1+\frac{x}{d}\right)\right]_0^d$
$\Rightarrow \frac{1}{ C _{ eq }}=\frac{ d }{ KA \epsilon_0}[\ln 2-\ell n (1)]$
$\Rightarrow C _{ eq }=\frac{ KA \epsilon_0}{ d \ell n 2} \Rightarrow \alpha=1$
