एक कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में समान चाल से गति करते हुए एक चक्कर पूरा करने में $\mathrm{T}$ समय लेता है।

यदि यही कण क्षैतिज से उसी चाल से कोण ' $\theta$ ' पर प्रक्षेपित किया जाए, तो $4 \mathrm{R}$ के बराबर अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करता है। प्रक्षेपण कोण $'\theta'$ दिया जाता है :

निम्नलिखित में से कौन से कारक किसी खिलाड़ी के द्वारा लम्बी कूद के दौरान तय की गई क्षैतिज दूरी को प्रभावित करेंगे

$(a)$ सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के $x -$अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं|

$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

$(b)$ सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु से फेंके गए प्रक्षेप्य कोण का मान $\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$ होगा। यहाँ प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ सामान्य हैं।

एक तोप क्षैतिज तल पर रखी है और $\theta $ कोण बनाते हुये ${v_0}$ वेग से एक गोले को प्रक्षेपित करती है। तोप से $D$ दूरी पर एक ऊध्र्वाधर चट्टान है। तल से कितनी ऊँचाई पर गोला चट्टान से टकरायेगा

नीचे दिए गए चित्र के अनुसार, किसी सर्कस में एक निष्पादक/प्रदर्शक एक सेब को $45 \,m$ की ऊंचाई पर स्थित एक छल्ले की ओर फेंकता है जिसे ऊपर स्थित किसी दूसरे प्रदर्शक ने पकड़ा हुआ है. फेकनेवाला प्रदर्शक छल्ले की ओर निशाना साधता है और $24 \,m / s$ की चाल से सेब को फेकता है. जिस क्षण फेंकने-वाले के हाथ से सेब निकलता है उसी क्षण दूसरा प्रदर्शक छल्ले को छोड़ देता है. छल्ला सीधे नीचे की ओर गिरता है. भूमी की सतह से ........... $m$ ऊंचाई पर सेब छल्ले से होकर गुजरेगा?

नीचे दो कथन दिए गए है। एक को अभिकथन-A तथा दूसरे को कारण $R$ के रूप में अंकित किया गया है।

अभिकथन $A$ : दो एक जैसी गेंदे $A$ व $B$ समान वेग ' $u$ ' से क्षैतिज के साथ अलग अलग कोण पर फैंकी जाती है तो समान परास $R$ प्राप्त होती है। यदि $A , B$ अधिकतम ऊँचाई क्रमश: $h _1$ और $h _2$ तक पहुंच जाती है, तो $R =4 \sqrt{ h _1 h _2}$ होगा।

कारण $R:$ ऊँचाईयों का गुणनफल $h _1 h _2=\left(\frac{ u ^2 \sin ^2 \theta}{2 g }\right) \cdot\left(\frac{ u ^2 \cos ^2 \theta}{2 g }\right)$

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